Как матричное представление гамильтониана влияет на собственные значения?

Предположим, нам дан следующий гамильтониан:

ЧАС ^ "=" ю ℏ ( С ^ + 2 + С ^ − 2 )
Предположим также, что мы измеряем С → 2 и получить 6 ℏ 2 , т.е. сводится к с "=" 2 подпространство и хотят найти все возможные энергии (также известные как собственные значения оператора Гамильтона в соответствующем базисе).

Очевидно, соответствующий базис состоит из собственных состояний { | 2 , м ⟩ } оператора проектирования спина. Я вычислил матричные элементы ЧАС ^ в этой основе и получил следующее 5 × 5 матрица:

ЧАС ^ "=" ℏ ю (   | 2 , 2 ⟩ | 2 , 1 ⟩ | 2 , 0 ⟩ | 2 , − 1 ⟩ | 2 , − 2 ⟩ | 2 , 2 ⟩ 0 0 2 6 0 0 | 2 , 1 ⟩ 0 0 0 6 0 | 2 , 0 ⟩ 2 6 0 0 0 2 6 | 2 , − 1 ⟩ 0 6 0 0 0 | 2 , − 2 ⟩ 0 0 2 6 0 0 )

Можно показать, что собственные значения равны Е "=" ± 4 3 ℏ ю , ± 6 ℏ ю , 0 , что действительно правильно. Однако вычислять их было немного утомительно.

Теперь оказывается, что существует более простое матричное представление ЧАС ^ в той же основе . Это связано с особой структурой гамильтониана, в котором возводятся как повышающие, так и понижающие операторы. Это естественным образом разбивает базис на две группы: { | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ } и { | 2 , 1 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ } которые закрываются под действием С ^ ± 2 . Таким образом, мы можем переупорядочить базис и получить следующую блочно-диагональную форму

ЧАС ^ "=" ℏ ю (   | 2 , 1 ⟩ | 2 , − 1 ⟩ | 2 , 2 ⟩ | 2 , 0 ⟩ | 2 , − 2 ⟩ | 2 , 1 ⟩ 0 6 0 0 0 | 2 , − 1 ⟩ 6 0 0 0 0 | 2 , 2 ⟩ 0 0 0 2 6 0 | 2 , 0 ⟩ 0 0 2 6 0 2 6 | 2 , − 2 ⟩ 0 0 0 2 6 0 )

что очень удобно, потому что теперь для нахождения собственных значений мы можем анализировать две меньшие матрицы. К счастью, собственные значения оказались одинаковыми.

Вопрос : мы знаем из линейной алгебры, что в общем случае, замена/изменение порядка строк/столбцов (что и произошло здесь) изменяет собственные значения. Однако в этом случае собственные значения остались прежними. Я понимаю физическую причину этого, но как это можно обосновать математически? Предположим, что мы ничего не знали о структуре гамильтониана (или, наоборот, не были достаточно сообразительны, чтобы понять, что базис можно удобно разбить на две «особые» подгруппы). Существует ли математический способ найти «наилучший» порядок базисных векторов, при котором матричное представление данного оператора принимает блочно-диагональную форму? И есть ли математическое обоснование того, почему собственные значения остаются прежними после того, как мы изменим порядок строк/столбцов? Может быть, это связано с тем, что матрица (оператор) симметрична (эрмитова)?

Знаете ли вы, что если нормальный оператор диагональен в двух разных базисах, то собственные значения (и их кратности) остаются прежними?
@Qmechanic - я знаю, что собственные значения не зависят от выбора базиса, если вы это имеете в виду.

Ответы (1)

Ваши 2 матрицы отличаются только одной и той же перестановкой строк и столбцов, которая не меняет собственные значения. Чтобы быть точным, пусть п быть перестановкой, которая принимает { | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 1 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ ) } к { | 2 , 1 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ , | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ ) } .

п можно построить, рассматривая, например,

| 2 , 2 ⟩ ↦ ( 1 0 0 0 0 )
д., так что первый столбец п было бы ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ⊤ и П взял бы ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ⊤ → ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ⊤ .
Тогда ваши матрицы связаны преобразованием подобия
п ЧАС ^ 1 п − 1 "=" ЧАС ^ 2
и, следовательно, собственные значения обоих одинаковы. В качестве альтернативы ваши матрицы связаны изменением основы, сгенерированной п , поэтому они оба имеют одинаковые собственные значения.

(NB: я надеюсь, что у меня есть п − 1 и п в правильном месте, но аргумент веский.)

Спасибо! Другими словами, верно следующее общее математическое утверждение: любая одновременная перестановка строк и столбцов матрицы сохраняет ее собственные значения неизменными. Правильный?
да. Затем это эквивалентно изменению базы, когда вы переупорядочиваете векторы. Другими словами, вы могли бы все время использовать второй порядок базисных векторов; конечно, собственные значения не зависят от этого порядка.
Как матричное представление гамильтониана влияет на собственные значения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v