Математика проблемы собственных значений в квантовой механике

В принципе, оператор$H$не является матрицей. Однако вы можете записать матричное представление. Для этого вам нужен базис, который должен быть полным (= очень большая матрица, возможно, бесконечно большая) — для многих иллюстрирующих случаев в квантовой механике он неполный.

Если ваша основа состоит из$|a\rangle$и$|b\rangle$, он не полный, но вы все равно можете красиво описать некоторые эффекты.

Вы привели пример$H=|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|$, Который означает, что$H$это (это просто другой способ написать это)

и вы можете вычислить его собственные значения.

Для общей гамильтоновой матрицы 2x2 формула имеет вид

$i$и$j$может принимать значение$a$и$b$.

Матрица представляет собой матрицу 2x2, потому что гамильтониан содержит только два вектора,$a$и$b$.

Как преобразовать оператор Гамильтона в матрицу, хорошо объясняется в Википедии (первые четыре формулы раздела). Если это уже в абстрактной форме$H=|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|$, вы можете просто прочитать это: префактор$|a\rangle\langle a|$($=0$) — верхняя левая запись, префактор$|a\rangle\langle b|$($=1$) — верхняя левая запись и т. д.

Вам не нужно знать явную форму базиса, в котором написана матрица. Помните, что собственные значения матрицы инвариантны к унитарным преобразованиям.

Вам нужно понимать разницу между линейным преобразованием T и матрицей A, которая его представляет. Элементы A зависят от конкретного базиса, в котором вы работаете. Вы должны вспомнить из линейной алгебры, что для нахождения столбцов A вы применяете T к базисным векторам.

Например, в вашей задаче гамильтониан$\hat{H}$играет роль Т, а$\{\vert a \rangle, \lvert b \rangle\}$является вашей основой. Если вы подаете заявку$\lvert a \rangle$к$\hat{H}$, Вы получаете

Обратите внимание, что этот расчет совершенно не зависит от представлений векторов и гамильтониана.

Теперь относительно выбранного нами базиса вам должно быть ясно, что вектор$\lvert a \rangle$представлена ​​упорядоченной парой$\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$и$\lvert b \rangle$представлена ​​упорядоченной парой$\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$. В терминах матриц и упорядоченных пар соотношение$\hat{H}\lvert a \rangle = \lvert b \rangle$будет написано

Дело об операторе$A$просто чтобы вы знали, что$|a\rangle$и$|b\rangle$ортогональны (если предположить$a \neq b$). Это следует из свойств эрмитовых операторов (достаточно оценить$\langle a | A | b\rangle$два разных пути).

С$|a\rangle$и$|b\rangle$ортогональны, они являются хорошим выбором для основы, и мы можем написать матрицу$H$в этой основе. Это оператор переключает$|a\rangle$и$|b\rangle$(это довольно легко увидеть без матрицы, но вы просили матрицу). Квадрат этого оператора равен единице, поэтому его собственные значения равны$\pm 1$.

Проблемы с собственными значениями гораздо более общие, чем то, что вы видите в матрицах. Например, вы можете искать решения проблемы собственных значений

$\frac{d }{d x} y = \lambda y$

решить для$\lambda$. Решение, конечно,$y = e^{\lambda x}$и$\lambda$может быть континуумом. Если вы наложите некоторые другие граничные условия, вы можете получить дискретный спектр$\lambda$.

Если вы настаиваете на матричном представлении, вы можете использовать ортогональные функции в качестве «базисных векторов» и их отношения ортогональности для определения внутреннего продукта. Прочтите о квантовом гармоническом осцилляторе, и полиномы Эрмита являются ортогональной основой для расширения решения, которое также позволяет точно решить дифференциальное уравнение.

Эта матрица имеет только 2 состояния$|a>$и$|b>$

тогда это будет матрица 2x2

с элементами

$a1,1 = <a|a><b|a>+<a|b><a|a>$

$a1,2=a2,1 = <a|a><b|b>+<a|b><a|b>$

$a2,2 = <b|a><b|b>+ <b|b><a|b>$

Из этой матрицы вы можете оценить собственные значения