Как могут быть верны силлогизмы с противоречивыми посылками?

Принцип, к которому относится ваш вопрос, называется принципом взрыва, или иногда используется латинское выражение, ex противоречие quodlibet, означающее, что из противоречия следует что-либо. Это свойство классической логики, а также многих других логик, хотя и не всех логик. Логики, в которых отсутствует принцип взрыва, называются паранепротиворечивыми .

Есть два способа понять, почему должен выполняться принцип взрыва. Во-первых, это можно доказать с помощью простых правил. Предположим, мы начинаем с противоречия «А и не А». Тогда мы можем прийти к любому произвольному выводу B следующим образом:

1. A and not A        (assumption)
2. A                  (follows from 1)
3. A or B             (follows from 2 by addition)
4. not A              (follows from 1) 
5. B                  (follows from 3 and 4 by disjunctive syllogism)

Второй способ продемонстрировать принцип взрыва — использовать объяснение достоверности, которое вы процитировали в первом предложении. Аргумент действителен, если посылки не могут быть истинными, а заключение ложным. На самом деле, это только грубый первый шаг в объяснении достоверности, и есть лучшие объяснения, но для наших целей это подойдет. Если посылки аргумента противоречивы, то невозможно, чтобы все они были истинными, следовательно, a fortiori они не могут быть истинными, а заключение ложным.

Принцип взрыва часто кажется странным новичкам в логике, но как только вы освоите его, это не будет проблемой. В классической логике нет истинных противоречий, поэтому аргумент с противоречащими посылками никогда не может быть обоснованным, т. е. он никогда не может быть одновременно достоверным и иметь истинные посылки. Вы даже можете думать о принципе взрыва как о своего рода смирительной рубашке, которая навязывает правило, что никакие противоречия не истинны. Если бы противоречие было истинным, последствия были бы катастрофическими, потому что за этим последовало бы что угодно. Поэтому мы никогда не должны допускать истинных противоречий.

Принцип взрыва также очень полезен в математике. Предположим, мы хотим доказать, что теория непротиворечива. Непоследовательная теория влечет за собой противоречие и взрывом доказывает что угодно. Таким образом, напротив, если есть хотя бы одна формула, недоказуемость которой может быть доказана теорией, то эта теория непротиворечива. Это использовал умный логик по имени Гентцен, чтобы доказать непротиворечивость арифметики.

• Косвенный способ: когда вы хотите показать, что рассуждение недействительно, что вы делаете? вы показываете, что возможно (1) все посылки верны и (2) в то же время заключение ложно. Не могли бы вы сделать это здесь? Чтобы иметь (1) и (2) , вам нужно иметь (1) ? Можете ли вы показать, что все предпосылки верны? Нет, поскольку одно из них противоречиво, то, конечно, невозможно, чтобы все они были истинными, поскольку одно из них противоречиво. Вывод: не может быть случая, когда рассуждения недействительны.

Прямой путь:

• Рассуждение справедливо, если истинно следующее условное выражение:

для всех возможных случаев/ситуаций/интерпретаций, если все посылки верны, то вывод верен.

• «все посылки истинны» — это антецедент суждения, выражающий критерий достоверности.

• Но: утверждение if-then автоматически становится истинным, когда его антецедент ложен (см. таблицу истинности оператора "if... then"

• Поскольку антецедент «все посылки истинны» необходимо ложно (из-за того, что одна из посылок противоречива), все утверждение «если… то» истинно во всех возможных случаях.

• Это аргумент a fortiori : поскольку не может быть случая, когда одна из посылок истинна, то a fortiori не может быть и случая, когда все посылки истинны, а заключение ложно.

• Примечание: это показывает, что валидность не является достаточным условием для того, чтобы рассуждение было хорошим (хотя оно является необходимым в случае дедуктивного рассуждения), или даже больше, что валидность не является достаточным условием для того, чтобы рассуждение было правильным. быть доказательством чего-либо; очевидно, что рассуждение, включающее противоречивую посылку, не может ничего доказать, даже если его вывод верен (поскольку доказательство должно основываться на истинных утверждениях)

Система, в которой вы работаете, имеет несколько названий, одно из которых — термин «логика» . Логика терминов — это не то же самое, что классическая логика, и при ее изучении вам придется сделать несколько выборов.

Вывод, который вы описываете, верен в классической логике. Силлогизмы часто используются в качестве учебного пособия для введения логики первого порядка, поскольку они синтаксически похожи на естественный язык. Однако существует более одного способа интерпретации термина «логика» и более одного способа ее анализа.

This appleотносится только к одному конкретному яблоку и поэтому не может быть обработано силлогистической структурой напрямую. Тем не менее, мы можем перефразировать его, используя универсальный. Заключение 1 + 1 = 2также не имеет представления в терминологической логике, но вы используете его как пример неуместного вывода, поэтому я заменю его на all numbers are even.

P1: Every instance of this apple is red.
P2: No instance of this apple is red.
C:  All numbers are even.

Верен ли этот силлогизм или нет, зависит от вашей точки зрения.

С точки зрения современной классической логики ( классической логики первого порядка ) этот вывод верен из-за ex falso quodlibet .

Однако из-за того, что язык терминологической логики настолько ограничен, исторические философы смогли записать верные выводы, и есть некоторые красноречивые пробелы.

Например, следующий силлогизм верен согласно семантике современной классической логики, но не указан как действительный силлогизм.

All A are B.
All B are C.
---------------
Some A are C.

Следующий силлогизм, близкий по духу к вашему вопросу, также не засвидетельствован (заметим, что последний вывод условен).

All A are B.
No A are B.
-------------
Some C are D.

Рассмотрим следующий силлогизм: P1: Это яблоко красное. P2: Это яблоко не красное. С: Следовательно, 1+1=2. Верен ли этот силлогизм?

Нет, конечно нет.

Для всякого логического человека очевидно, что заключение не следует из посылок.

Да, математическая логика говорит, что такие аргументы верны, но это только показывает, что хотя математическая логика — это математика, это не логика.

Математическая логика опирается на отредактированное определение достоверности, сформулированное таким образом, чтобы быть совместимым с материальным следствием и так называемым «принципом взрыва», который сам по себе определенно не является логическим принципом, но присущ математической логике.

Единственная истинная классическая логика, а именно силлогистика Аристотеля, основана на представлении о том, что существует одна логика. С тех пор это была фундаментальная позиция логиков. Так думал даже Джордж Буль. В своей первой книге, опубликованной в 1847 году, он говорил о своем исчислении как о модели « дедуктивного мышления », каждый элемент которого соответствует элементу « человеческого интеллекта ».

Однако его модель была ошибочной, и неизбежно разные математики вскоре стали разрабатывать свои собственные альтернативные модели, ни одна из которых не моделирует дедуктивную логику человека правильно. Вот почему сейчас математики заявляют, что логика произвольна и что нет никаких причин, по которым должна быть только одна логика, хотя грамматика самого слова «логика» не оставляет места для интерпретации. Мы говорим «логика», а не «логика» или «логика», вот почему математикам приходится говорить о «системах логики», когда речь идет о различных математических теориях, представляемых как логика (логика 1-го порядка и т. д.). Логика — это единственная логика человеческого дедуктивного мышления.

Вот почему вопросы, подобные этому, возникают снова и снова, и почему так много студентов с трудом понимают материальный смысл, и что учителям приходится использовать ложный аргумент, чтобы убедить студентов, что материальный смысл, тем не менее, является правильной моделью условное.

Справедливость силлогизма вытекает из определения действительности, которое вы правильно дали: «Силлогизм действителен, если невозможно, чтобы посылки были истинными, а вывод в то же время ложным». В «P1: Это яблоко красное. P2: Это яблоко не красное. C: Следовательно, 1 + 1 = 2». обе посылки не могут быть истинными. Следовательно, посылки не могут быть истинными, а заключение ложным (потому что посылки не могут быть истинными). [(P^~P)=>Q] — тавтология. Потому что условие истинно только в том случае, если антецедент истинен, а следствие ложно, а антецедент этого условного выражения (P^~P) никогда не может быть истинным.