Как можно изменить время, не затрагивая координаты или их производные?

Question

Как можно изменить время, не затрагивая координаты или их производные?

Омар Нагиб

В контексте теоремы Нётер гамильтониан - это постоянная движения, связанная с трансляционной инвариантностью лагранжиана во времени. Трансляционная инвариантность во времени эквивалентна тому, что лагранжиан не зависит явно от времени, т.е.

\frac{\partial л}{\partial т} "=" 0 .

$\dfrac{∂L}{∂t}=0 .$

Причина, по которой они эквивалентны, заключается в том, что для бесконечно малого смещения во времени мы можем аппроксимировать лагранжиан как разложение первого порядка его ряда Тейлора, то есть

дельта л \equiv л (д, \dot{д}, т + ϵ) - л (д, \dot{д}, т) "=" \frac{\partial л}{\partial т} ϵ

$δL ≡ L(q, \dot{q},t +\epsilon ) − L(q, \dot{q},t)= \dfrac{∂L}{∂t}\epsilon$

правый

$\text{the right one}$

Но не следует $t \mapsto t+ \epsilon$ вызывать $q(t) \mapsto q(t+ \epsilon)$ и $\dot{q}(t) \mapsto \dot{q}(t+ \epsilon)$ ? и если это так, то

дельта л \equiv л (д (т + ϵ), \dot{д} (т + ϵ), т + ϵ) - л (д, \dot{д}, т) "=" \frac{\partial л}{\partial т} ϵ + \frac{\partial л}{\partial д} ϵ + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} ϵ

$δL ≡ L( q(t+ \epsilon), \dot{q}(t+ \epsilon),t +\epsilon ) − L(q, \dot{q},t)= \dfrac{∂L}{∂t}\epsilon +\dfrac{∂L}{∂q}\epsilon+\dfrac{∂L}{∂ \dot{q}}\epsilon$

не тот

$\text{ the wrong one}$

Таким образом, лагранжиан транснационально инвариантен во времени тогда и только тогда, когда он не зависит явно от $q$ , $\dot{q}$ и $t$ что не имеет смысла. Так как же возможно изменять время, не затрагивая координаты или их производные, которые сами являются функциями времени?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /94381/2451

Ответы (1)

Как можно изменить время, не затрагивая координаты или их производные?

Связанный: физика.stackexchange.com/q /94381/2451

смягченный · Answer 1

Позволять $t\to t+\varepsilon$ быть явным изменением временной переменной, которая, в свою очередь, отражается на $q\to q+\delta q$ и $v\to v+\delta v$ , соответственно (как вы указали).

Позволять $L(q,v,t)$ — функция Лагранжа, подвергающаяся изменению

дельта л (д, в, т) "=" \frac{\partial л}{\partial д} дельта д + \frac{\partial л}{\partial в} дельта в + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т

$\delta L(q,v,t) = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial v}\delta v + \frac{\partial L}{\partial t}\delta t$ при вышеупомянутом временном преобразовании по определению вариации.

На решении уравнения движения (и только там) имеем

дельта в "=" д (дельта д)

$\delta v =d\,(\delta q)$ а именно вариация коммутирует с производной по времени; следовательно, вышеприведенное становится

дельта л (д, в, т) "=" \frac{\partial л}{\partial д} дельта д + \frac{\partial л}{\partial в} д (дельта д) + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т .

$\delta L(q,v,t) = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial v}d\,(\delta q)+ \frac{\partial L}{\partial t}\delta t\ .$ Применяя правило Лейбница ко второму вкладу и используя уравнение движения (на решении которого мы решили быть), можно получить

дельта л (д, в, т) "=" д (\frac{\partial л}{\partial в} дельта д) + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т .

$\delta L(q,v,t) = d\,\Big(\frac{\partial L}{\partial v}\,\delta q\Big)+ \frac{\partial L}{\partial t}\delta t\ .$ По условию лагранжиан таков, что имеет фиксированные границы при вариациях, поэтому первый вклад в приведенном выше равенстве исчезает, а оставшийся доказывает результат.

Ошибка в ваших вычислениях заключалась в том, что вы считали $\delta q, \delta v$ быть обоими $\varepsilon$ , но это не так.

Я следовал всем вашим аргументам, кроме «По гипотезе, лагранжиан таков, что имеет фиксированные границы при вариациях, поэтому первый вклад в приведенном выше исчезает, а оставшийся доказывает результат». Я этого не понимаю, можешь объяснить?
@AngusTheMan Немного подумав об этом, я снова не убежден. Так $\delta q(t)$ является $q(t+\epsilon)-q(t)$ такой, что $\delta q(t_0)=q(t_f)=0$ . Я согласен с тем, что использование уравнения EL эквивалентно использованию принципа Гамильтона. Но как это подразумевает $d\,\Big(\frac{\partial L}{\partial v}\,\delta q\Big)$ =0, мне кажется, что последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда $\delta q(t)=0$ для любого $t$ это не так. Последний член исчезнет только при $\delta q(t_0)$ или $\delta q(t_f)$ но не для любого произвольного $t$ . так что вы можете прояснить мое замешательство?
@AngusTheMan $\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д |^{2} - \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д |^{1} "=" 0$ $\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q \bigg|^2- \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q \bigg|^1 =0 \end{equation}$ Но то, что это равенство обращается в нуль, следует из того, что $\delta q(1)= \delta q(2)=0$ . следовательно, это не означает, что этот термин является постоянной функцией времени, не так ли?
Применение принципа Гамильтона такое же, как и использование EL, и, поскольку мы использовали уравнение EL, следует (из принципа Гамильтона), что $\delta q(1)=\delta q(2)=0$ , так что я не понимаю, как вы можете предположить $\delta q(i)$ быть произвольным. Вы можете помочь мне с этим?

Как можно изменить время, не затрагивая координаты или их производные?

Омар Нагиб

Qмеханик

Ответы (1)

смягченный

Омар Нагиб

Омар Нагиб

Омар Нагиб

Омар Нагиб

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Суммарная энергия в реономных системах

Какова логика, которая приводит к сохранению энергии из временной инвариантности? [дубликат]

Теорема Нётер и закон сохранения энергии в классической механике

Получение сохраняемого количества из лагранжиана [дубликат]

Теорема Нётер и зависящие от времени лагранжианы

Из теоремы Нётер можно ли доказать закон сохранения энергии? [дубликат]

Явная временная зависимость лагранжиана и закона сохранения энергии

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер