Теорема Нётер и зависящие от времени лагранжианы

Лагранжиан (и действие в целом)

$$L = \frac{1}{2}m \dot{q}^2 - \ln t$$

не является инвариантным относительно преобразования, заданного формулой

$$T = t, \qquad Q = 0.$$

Изменение масштаба$t$по фактору$1+\epsilon$также изменяет производные по времени:$\delta \dot{q} = -\epsilon \dot{q}$(и мера интегрирования$dt$), поэтому предлагаемое количество не сохраняется.

Где моя ошибка?

Итак, ошибка в выборе неправильного лагранжиана/преобразования.

Теорема Нётер отлично работает для лагранжианов, явно зависящих от времени. Вот еще один пример лагранжиана с явной зависимостью от времени:

$$L = \frac{m \dot{q}^2}{2} e^{\alpha t}.$$ Такой тип лагранжиана может возникнуть, например, если мы попытаемся получить уравнения движения для диссипативной системы.

Уравнение Эйлера-Лагранжа для этой системы после исключения общего множителя читается как

$$\ddot{q} = -\alpha \dot{q}.$$

Этот лагранжиан инвариантен относительно инфинитезимального преобразования:

$$t\to t' = t + \epsilon, \qquad q \to q' = q -\epsilon\frac{\alpha q}{2}.$$

Замена этих$T$и$Q$в теореме Нётер получаем величину

$$A=\frac{m }{2} e^{\alpha t}\cdot (\dot{q}^2 + \alpha \dot{q} q).$$

Его производная по времени

$$\dot{A} = \frac{m }{2} e^{\alpha t}\cdot (\alpha \dot{q}^2 + \alpha^2 \dot{q} q +2 \ddot{q}\dot{q} + \alpha \ddot{q} q + \alpha \dot{q}^2) ,$$ Если мы используем уравнение EL для устранения $\ddot{q}$мы получаем $\dot{A}=0$, поэтому количество сохраняется, как и должно быть.

Давайте посмотрим, как мы можем поиграть с теоремой Нётер на примере «сохранения энергии».

Прежде всего применим к лагранжиану не зависящую от времени вариацию ,

$$\begin{equation} t \rightarrow t+ \epsilon \end{equation}$$ Для общего лагранжиана изменится $$\begin{equation} L(x(t), \dot{x}(t), t)\rightarrow L'(x(t), \dot{x}(t), t ) = L(x(t), \dot{x}(t), t-\epsilon ) \end{equation}$$ в этом случае нам требуется, чтобы лагранжиан был инвариантным (а не только ковариантным) как скаляр, $$\begin{equation} L=L' \implies \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \end{equation}$$ Это свойство верно только для любого пути.

Затем мы используем индуцированную зависящую от времени вариацию ,

$$\begin{equation} t \rightarrow t+ \epsilon(t) \quad x(t) \rightarrow x(t) + \epsilon(t) \dot{x(t)} \end{equation}$$ Изменение действия в этом случае $$\begin{equation} \delta S = \int_0 ^T \frac{\partial L }{\partial x} \dot{x(t)} \epsilon(t) + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \frac{d}{dt}(\epsilon(t) \dot{x}(t)) = \int_0^T dt \epsilon(t) ( \frac{\partial L }{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \ddot{x} ) + \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x} \dot{\epsilon} \end{equation}$$ Теперь добавляем $\frac{\partial L}{\partial t}=0$к первым двум терминам в круглых скобках, чтобы сделать его полной производной, так как это верно для всех путей в конфигурационном пространстве. Для второго члена мы интегрируем по частям, чтобы получить (вариация имеет нулевые граничные условия), $$\begin{equation} \delta S = \int_0^T dt \epsilon(t) \frac{d}{dt}(L - \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x}) \end{equation}$$ Только классический путь, любая вариация приведет к экстремальному действию; в частности наш специальный вариант $\epsilon(t)$индуцированное действием симметрии будет. Получаем уравнение сохранения энергии, $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(L - \frac{\partial L } {\partial \dot{x} } \dot{x}) = 0 \quad \text{along classical path} \end{equation}$$

Другими словами, вы должны выбрать$T$и$Q$чтобы быть постоянным (независимым от времени), чтобы раскопать симметрии лагранжиана. Затем вы можете применить зависящее от времени изменение, чтобы получить специальное «уравнение движения» по классическому пути: закон сохранения .

Мне нужно разработать уравнение симметрии, которое я вывел.

При вариации, не зависящей от времени, мы говорим, что лагранжиан действительно изменяется

$$\begin{equation} L' = L(x(t-\epsilon), \dot{x}(t-\epsilon), t-\epsilon ) \end{equation}$$ Это связано с тождеством, $$\begin{equation} L(x(t),\dot{x}(t),t) = L'(t') \quad t'=t+\epsilon \end{equation}$$ Это означает, что значение лагранжиана точки в конфигурационном пространстве не зависит от описывающей ее временной координаты. Это похоже на то, что вы можете использовать разные часовые пояса для описания события. Они отличаются только на константу.

Однако это неверно, если мы применяем вариацию, зависящую от времени,

$$\begin{equation} \frac{d}{dt}(x(t-\epsilon)) = \frac{d}{dt}( x(t) - \epsilon \dot{x}(t) ) = \dot{x}(t) - \dot{\epsilon}\dot{x(t)} - \epsilon \ddot{x}(t) \ne \dot{x}(t) - \epsilon \ddot{x}(t) = \dot{x}(\tau)|_{\tau = t-\epsilon} \end{equation}$$ изменение, зависящее от времени, заставляет скорость изменяться не так, как нам нравится. Это похоже на то, что время течет неравномерно, так что даже если вы сместите свой вектор скорости к исходной точке перед переводом, он все равно изменится, потому что скорость будет зависеть от того, как течет время.

В техническом аспекте ваше варьирование не может привести к

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \end{equation}$$ что эквивалентно закону сохранения.