Явная временная зависимость лагранжиана и закона сохранения энергии

Почему энергия (или, в более общем смысле, гамильтониан) не сохраняется, когда лагранжиан имеет явную зависимость от времени?

Я знаю, что мы можем вывести тождество:

д ЧАС д т "=" − ∂ л ∂ т

но есть ли более физическое и интуитивное объяснение сохранения?

Ответы (2)

I) Если система (и, следовательно, лагранжиан) явно зависит от времени, это часто можно физически интерпретировать как то, что система не является изолированной системой . Другими словами, она взаимодействует с окружающей средой, и, следовательно, нет причин для сохранения энергии системы.

Пример: нерелятивистская одномерная точечная частица с лагранжианом

(1) л   "="   1 2 м д ˙ 2 − В ( д , т ) ,
где потенциал

(2) В ( д , т )   "="   В 0 ( т ) − Ф ( т ) д + 1 2 к ( т ) д 2

квадратичен в д и три коэффициента В 0 ( т ) , − Ф ( т ) и к ( т ) явно зависят от времени. Мы можем интерпретировать:

  1. В 0 ( т ) как флуктуирующая (выбор) нулевая энергия. Это член полной производной в лагранжиане, и он не влияет на уравнения движения.

  2. Ф ( т ) как внешняя сила.

  3. к ( т ) как изменяющаяся жесткость пружины.

II) С другой стороны, если лагранжиан не зависит явно от времени, так что перенос времени является симметрией лагранжиана, то ( первая) теорема Нётер дает, что соответствующий нётеровский заряд (= энергия) сохраняется.

Зависящий от времени гамильтониан также означает, что элемент объема в фазовом пространстве не сохраняется при эволюции во времени.

Явная временная зависимость лагранжиана и закона сохранения энергии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v