Какова логика, которая приводит к сохранению энергии из временной инвариантности? [дубликат]

Независимость от времени гамильтониана, описывающего систему (или лагранжиана), не всегда означает сохранение энергии. Например, если вы описываете систему в неинерциальной системе отсчета (например, во вращающейся системе отсчета), то даже при наличии временной инвариантности (т. е.: гамильтониан системы не зависит от времени) не будет сохранение энергии.

В классической механике, в гамильтоновом формализме, генератором временной эволюции является гамильтониан системы (преобразование Лежандра лагранжиана в канонических моментах). В общем случае, если гамильтониан$H$(то же самое для лагранжиана) не зависит явно от времени (т.е.:$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$) затем$H$сохраняется (т.е.:$\frac{d H}{d t} = 0$). Но гамильтониан не всегда равен энергии системы!

Чтобы убедиться$H$равна полной энергии системы, должны выполняться следующие условия:

1. Система координат, выраженная через обобщенные координаты (координаты положения гамильтониана), не должна зависеть от времени и,
2. Потенциал не должен зависеть от полных производных по обобщенным координатам по времени.

Когда эти условия соблюдены, то$H=E$и если$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$затем$\frac{d H}{d t} = \frac{d E}{d t} = 0$так что энергия сохраняется. Конечно, в большинстве случаев у нас так и есть.$H=E$но это не во всех случаях. В заключение: инвариантность во времени не всегда означает сохранение энергии.

Весь этот формализм явно определен математически, и доказательства этих теорем довольно громоздки для написания, и они сопровождаются несколькими определениями. Для получения дополнительной информации я бы сослался на книгу по классической механике, такую ​​как книга Гольдштейна по классической механике , которая является стандартным справочником по этому вопросу.