Какая операционная процедура необходима для измерения во взаимодействующей (или невзаимодействующей) КТП? [предположим размазывание по тест-функциям, или дадим ответ в пространстве Фурье, для , на ваш вкус; дать индексы электромагнитного поля и перенести вопрос в КЭД, если случай скалярного поля кажется существенно нереальным].
В невзаимодействующей КТП является c-числом, но во взаимодействующей КТП оно, предположительно, может быть наблюдаемой, независимой от и . Однако как мы его измерим? Если мы не можем его измерить, действительно ли он выбран по соглашению?
Ответ, описывающий (операционную) разницу между и может быть одинаково хорош (хотя и ).
Как всегда, ссылка не помешала бы.
РЕДАКТИРОВАТЬ: после ответа Любоша и, в частности, его комментариев, за что еще раз спасибо, равен нулю, если пространственноподобно как в невзаимодействующих, так и во взаимодействующих квантовых полях. Если квантовое поле является основой для эмпирически адекватной квантовой теории, операторов измерения во времяподобном отделении от данной пространственноподобной гиперплоскости во времени в принципе может быть выражена как нетривиальная функция поля и импульса поля в момент времени , , для двух функций и , которые для данной теории определяются лагранжианом. Учитывая множество неявных предположений, измерение коммутатора (потому что ) эквивалентно измерению . Если мы также измерим , мы можем определить (или, по крайней мере, существенно ограничить) лагранжиан. Если мы не знаем лагранжиана , то представляется желательным иметь оперативный способ измерения чтобы измерить лагранжиан (вместо обычного подхода угадывания лагранжиана и наблюдения за тем, насколько близки последующие предсказания к измерениям; случайность этого процесса является чем-то вроде кризиса в HEP). Я был бы рад комментариям по этому поводу или ответу, который учитывает этот РЕДАКТИРОВАТЬ. В качестве альтернативы, операционный подход к измерению лагранжиана неявно будет измерением, в принципе, ; Что-то подобное существует?
Не думаю, что будет какое-то нетривиальное упоминание о гипотетической процедуре, потому что недоразумение, похоже, кроется в самом вопросе.
В квантовой теории поля для пространственно-разделенных , в силу лоренц-инвариантности. Эта идентичность является идентичностью оператора. Итак, вы действительно спрашиваете, какова операционная процедура для измерения значения оператора, равного нулю. Правильный способ измерить его — набраться смелости, ничего не делать и сказать, что результат равен нулю, потому что это единственное собственное значение этого оператора.
Если времениподобны (или светоподобны, что является маргинальным случаем) разделены, коммутатор отличен от нуля. Но действительно бессмысленно говорить об измерении разноупорядоченных операторов в разное время. Под измерением в квантовой механике понимается измерение конкретного оператора в фиксированное время, и когда мы рассматриваем последовательность измерений, порядок слева направо коррелирует с их порядком во времени, потому что измерения операторов при увеличении действуют на кет-векторы один за другим. Именно поэтому, например, матрица может быть записана как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана.
С физической точки зрения имеет смысл размещать операторы в точках прошлого справа от произведения, а операторы из точек будущего — слева, при условии, что мы вычисляем некоторый оператор эволюции, готовый воздействовать на кет-векторы (для бра-векторов это наоборот, как видно из простого эрмитова сопряжения). Алгебраически говоря, противоположно упорядоченные произведения также имеют смысл, но они не соответствуют какой-либо процедуре.
Можно было бы сказать об одном исключении: если вы на самом деле хотите измерить не собственное значение коммутатора, а просто математическое ожидание коммутатора элементарных полей, форму пропагатора, то «запаздывающий коммутатор» (запаздывающий означает «с тета-функция, обеспечивающая правильный временной порядок»), может быть измерена как функция отклика. Один возмущает оператор в начальный момент времени и измеряет, насколько он меняет значение оператора на конечном срезе. Оценивается только изменение ожидаемого значения, и таким образом можно получить ожидаемое значение запаздывающего коммутатора.
Если были пространственно-подобно разделены, но коммутатор был отличен от нуля, например, из-за того, что симметрия Лоренца была бы нарушена, коммутатор все равно был бы равен некоторому конкретному оператору, который может быть выражен как функционал некоторых «базовых» операторов. Все эрмитовы операторы в квантово-механической теории являются законными наблюдаемыми, которые можно измерить. Если вы хотите, чтобы я описал конкретное устройство и процедуру для измерения ценности оператора, того, что устройство должно делать и т. д., вы должны точно сказать мне, какую теорию вы рассматриваете, потому что устройства для измерения чего-либо действительно зависят от фактической теории. (т.е. его гамильтониан).
Эти дополнительные данные, которые вам придется добавить, описывают, конечно, гипотетическую ситуацию, потому что в нашем мире коммутатор пространственноподобно-разделенных операторов обращается в нуль. Теория, в которой он не исчезнет, будет нелокальной, поэтому интуиция во Вселенной, описываемая этой другой гипотетической теорией, будет отличаться от правильной интуиции в нашей Вселенной, особенно когда речь идет о таких вещах, как описание положения объектов ( что в любом случае не очень полезное понятие, если теория нелокальна).
Вы спрашивали о способах измерения ценности того или иного оператора. что было банально. Но, может быть, вы хотели задать другой вопрос: как мы эмпирически докажем, что коммутатор равен нулю, т.е. как мы докажем это конкретное следствие локальности. Что ж, мы могли бы доказать, что коммутатор отличен от нуля, как и для операторов которые появляются в принципе неопределенности: измерение одного из них неизбежно возмущает другое. Если измерение нарушило распределение результатов, полученных при измерении , коммутатор был бы ненулевым.
Однако измерить фактическое значение оператора, равного коммутатору, довольно сложно. В общем, оператор не коммутирует ни с ни с . Дело является своего рода особенным, потому что коммутатор представляет собой -число. Поскольку коммутатор является полностью независимым оператором от и , процедура его измерения, разумеется, совершенно независима от измерения и . В частности, если мы хотим измерить , правильный способ снова ничего не делать, потому что правильное значение всегда .
Это еще одно важное заблуждение, которое имплицитно содержится в вашем вопросе. Вы, кажется, полагаете, что измерение коммутатора или произведения нескольких операторов может быть получено путем измерения отдельных факторов в коммутаторе или произведении. Но это совсем не так. Возьмем простой пример . Как вы измеряете значение этого оператора, равного коммутатору? Измерение и бесполезно, потому что коммутатор на самом деле равен , третий и полностью самостоятельный компонент! Классическая наблюдаемая, соответствующая коммутатору, не является функцией наблюдаемых, входящих в коммутатор! В общем, это совсем другой оператор, только измерять его можно совсем по другой методике.
Есть еще одна вещь, которую вы, возможно, хотели затронуть: ситуация, в которой равны или очень близки друг к другу, так что некоторый ненулевой член может возникать из-за коммутатора, подобного дельта-функции (или, возможно, из-за некоторых поправок или перенормировок квантовой петли, как видно в эффективном действии и т. д.). Связать поля с реальными аппаратами всегда сложно, потому что идентичность полей в теории поля (или любой теории) определяется только переопределением поля (которое может быть нелокальным) и так далее. Таким образом, без определенного соглашения о том, что вы подразумеваете под полями, что также подразумевает, что вы можете точно вычислить, что такое коммутатор, бессмысленно задавать такие тонкие вопросы. Когда вы говорите о , вы должны использовать какую-то конкретную схему соглашений и т. д., поэтому вы больше не говорите о практически выполнимых вещах. Если вы хотите оперативный ответ, вам нужно сформулировать вопрос и оперативно.
Во всяком случае, даже в этом случае ненулевого коммутатора из близлежащих , основные пункты текста выше остаются в силе. Измерение коммутатора совершенно не зависит от измерения операторов, коммутатор которых вычисляется. А если коммутатор -число (что всегда имеет место, например, когда есть только непроизводные взаимодействия), процедура измерения состоит в том, чтобы «ничего не делать».
Последний комментарий. Мне также кажется, что у вас неправильное представление о фактическом значении коммутатора в обычных взаимодействующих КТП. В Стандартной модели все перенормируемые члены взаимодействия не производны — они полиномиальны полям, но не зависят от производных полей. Поэтому, если вы вычисляете канонические импульсы как производную от лагранжиана по производным полей по времени, члены взаимодействия вообще ничего не дадут (поскольку в лагранжиане взаимодействия нет производных по времени)! Таким образом, одновременные коммутаторы в Стандартной модели точно такие же, как и в пределе невзаимодействия Стандартной модели.
Времяподобно-разделенные (неравновременные) коммутаторы, конечно, подвержены взаимодействиям, но продукты, которые не упорядочены должным образом во времени, не соответствуют какой-либо операционной процедуре.
люршер