Как написать уравнение силовой линии электростатического поля?

Линии электрического поля определяются как касательные в каждой точке к электрическому полю в этой точке.

Поэтому вызов$\boldsymbol r(s)$«траектория» линии поля, с$s$параметр, сообщающий нам, в какой точке линии мы находимся,$\boldsymbol r(s)$просто следует уравнению

$$\frac{d \boldsymbol r(s)}{d s} = \boldsymbol E(\boldsymbol r(s)). \tag 1$$

В вашем примере электрическое поле определяется выражением

$$\boldsymbol E(\boldsymbol r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \left( \frac{x}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} + \frac{R-x}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol x} \\ + \left( \frac{y}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} - \frac{y}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol y} \right],$$ что делает решение системы дифференциальных уравнений (1) весьма нетривиальным даже в этом простом случае. Я, например, не уверен, что это можно решить аналитически (у меня была попытка Mathematica, но безрезультатно).

Если вы заинтересованы в численной проверке правильности этого уравнения и видите, как выглядит фактическая кривая, и знаете, как использовать Wolfram Mathematica, вы можете попробовать следующий код:

Manipulate[
 With[{
   sol = NDSolve[
     {
      x'[s] ==
       A (x[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) + (
            R - x[s])/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      y'[s] ==
       A (y[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) -
          y[s]/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      x[0] == 0.01,
      y[0] == 0.01 Tan[\[Theta]],
      WhenEvent[
       Abs[x'[s]] > 10^6, "StopIntegration"
       ]
      },
     {x, y}, {s, 0, 20}
     ]
   },
  ParametricPlot[
   {x[s], y[s]} /. sol,
   {s, 0, sol[[1, 1, 2, 1, 1, 2]]},
   PlotRange -> {{0, 2}, {-1, 1}}
   ]
  ],
 {{A, 0.1}, 0.001, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"},
 {{R, 2}, 0.001, 4, 0.001, Appearance -> "Labeled"},
 {{\[Theta], Pi/4}, -Pi/2, Pi/2, 0.001, Appearance -> "Labeled"}
 ]

Мы можем найти уравнение для линии, которая составляет угол тета с положительным зарядом через эти шаги. Я постарался сделать каждый шаг понятным.

Пусть заряд$+q$быть на месте$(a, 0)$и заряд$-q$быть на месте$(-a, 0)$. Тогда электрическое поле в точке$(x, y)$является

$$\begin{equation}\tag{e1}\label{e1} \vec{E} = q\vec{r}\left(\frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3}\right) - qa\hat{e}_x\left(\frac{1}{r_1^3} + \frac{1}{r_2^3}\right), \end{equation}$$ где$\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y$,$\vec{r}_1 = \vec{r} + a\hat{e}_x$и$\vec{r}_2 = \vec{r} - a\hat{e}_x$. Уравнение силовых линий $$\begin{equation}\tag{e2}\label{e2} \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y}{x + a\frac{r_2^3 + r_1^3}{r_2^3 - r_1^3}}. \end{equation}$$ Теперь решим уравнение $\eqref{e2}$. Сначала мы переставляем его как $$\begin{equation} \left((r_2^3 - r_1^3)x + a(r_2^3 + r_1^3)\right)\frac{\partial y}{\partial x} = (r_2^3 - r_1^3)y. \end{equation}$$ Умножая обе части на$y/(r_1^3 r_2^3)$, $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y^2}{r_1^3} - \frac{y^2}{r_2^3}. \end{equation}$$ Мы заменяем$y^2 = r_1^2 - (x + a)^2$в первом множителе правой части и$y^2 = r_2^2 - (x - a)^2$во втором факторе, чтобы получить $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{1}{r_1} - \frac{(x+a)^2}{r_1^3} - \frac{1}{r_2} + \frac{(x-a)^2}{r_2^3} \end{equation}$$ или, $$\begin{equation}\tag{e3}\label{e3} \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} - \frac{(x+a)}{r_1^3}\left((x + a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) + \frac{(x-a)}{r_2^3}\left((x - a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) = 0. \end{equation}$$ Мы используем производные от$r_1$и$r_2$в отношении$x$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial r_1}{\partial x} &=& \frac{x + a}{r_1} + \frac{y}{r_1}\frac{\partial y}{\partial x} \\ \frac{\partial r_2}{\partial x} &=& \frac{x - a}{r_2} + \frac{y}{r_2}\frac{\partial y}{\partial x} \end{eqnarray*}$$ в уравнении $\eqref{e3}$получить $$\begin{equation} \frac{1}{r_1} - \frac{x+a}{r_1^2}\frac{\partial r_1}{\partial x} - \frac{1}{r_2} + \frac{x-a}{r_2}\frac{\partial r_2}{\partial x} = 0, \end{equation}$$ или $$\begin{equation} \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) = 0, \end{equation}$$ из которого мы легко получаем $$\begin{equation}\tag{e4}\label{e4} \frac{x + a}{r_1} - \frac{x - a}{r_2} = C, \end{equation}$$ где$C$является константой, как решение дифференциального уравнения (e2). Это также решение, данное в статье 63 «Математической теории электричества и магнетизма» сэра Джеймса Джинса (5-е издание).

Я дам вам начало. Вам нужно закончить работу.

Начните с понимания того, как построены линии. Линии — это пути через векторное поле, являющиеся результирующей электрической силы частиц (количество не имеет значения) в системе. Затем вы соединяете заряды, начиная с небольшого расстояния от одной из частиц и перемещаясь на небольшое расстояние в направлении электрического поля, а затем предпринимая последовательные шаги. В конце концов вы придете либо к границе вашего расчета, либо к другой частице. Уравнения могут быть получены с помощью этого математического метода, но будут некоторые ошибки, которые будут зависеть от размера шага, который вы делаете.

Но если у вас есть дополнительные математические навыки, вы можете вычислить векторное поле и вычислить связанное с ним дифференциальное геометрическое пространство. Тогда уравнения могут быть непосредственно рассчитаны с помощью геодезического уравнения через это искривленное пространство. Этот метод дал бы более точный результат, но его было бы интересно вычислить.