Объяснение результирующих сил двух положительных точечных зарядов

Сначала комментарий по поводу следующих заявлений, сделанных Китчи и Воутером:

Силовые линии всегда должны быть гладкими, в них не может быть резкого изгиба, как на вашей второй диаграмме.

и

Комментарий @Kitchi в основном говорит сам за себя: силовые линии должны быть непрерывными и дифференцируемыми, и они никогда не должны пересекаться.

Эти утверждения неверны безоговорочно, и вот две причины, почему:

1. Линии электрического поля точечного заряда состоят из лучей, все из которых пересекаются в месте расположения точечного заряда. Более того, в месте расположения точечного заряда поле не является гладким (оно там даже не является непрерывным, поскольку имеется сингулярность).

2. Существует разрыв электрического поля при прохождении через поверхностный заряд с плотностью заряда$\sigma$, фактически скачок пропорционален поверхностной плотности заряда;

   $$(\mathbf{E}_2 - \mathbf E_1)\cdot \mathbf n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

Если вы хотите сделать какое-то утверждение о гладкости линий электрического поля (которое вам следует избегать называть «силовыми линиями»), то вам действительно нужно сделать некоторые другие уточнения, исключающие такие случаи.

Во-вторых, эти обоснования гладкости в какой-то степени, так сказать, упускают из виду лес за деревьями. Суть проблемы действительно рассматривается Ричардом. Способ получения поля из-за распределения заряда заключается в использовании принципа суперпозиции . Это сразу же исключает нарисованную вами вторую диаграмму, потому что, если вы просто сложите поля двух точечных зарядов векторно, то вы увидите, что линии поля выглядят так, как вы нарисовали их на первой диаграмме.

Легко видеть, что второй сюжет неверен! Например, рассмотрим строку в$45^o$от левого заряда. Это говорит о том, что направление электрического поля$45^o$. Но вы должны сложить векторы электрического поля обоих зарядов в той точке (в любой точке), которая не может быть в$45^o$от горизонтальной линии!

Комментарий @Kitchi в основном говорит сам за себя: силовые линии должны быть непрерывными и дифференцируемыми, и они никогда не должны пересекаться.
!Вышесказанное в общем-то не соответствует действительности! Ответ от @joshphysics касается этого и приводит несколько очень вопиющих контрпримеров. Он также правильно объясняет причину фактической формы линий (которую вы можете найти математически, используя классическую теорию поля ). Мой ответ (часть ниже) в основном является попыткой показать, почему второе изображение неверно, используя довольно простые физические аргументы.

С другой, менее математической точки зрения: предполагается, что законы физики детерминированы (по крайней мере, для электромагнетизма, я полагаю, есть области исследований, в которых это предположение не делается). Итак, давайте посмотрим на вашу картинку и проследим путь частицы, скажем, вдоль зеленой линии, указывающей в верхний левый угол. Через некоторое время вы попадаете на оранжевую линию. Теперь, если вы повернете время вспять (способ проверки детерминизма), вы пойдете по оранжевой линии вниз, пока не дойдете до точки разделения. Здесь у вас есть проблема, потому что вы можете пойти любым путем, и вы не можете детерминистически определить (без каламбура), каким путем идти. Так что детерминизм терпит неудачу. Это еще один способ понять, почему ваша картина не может быть правдой. Первая картинка не страдает от этой проблемы.

На самом деле, я только что понял, что вам даже не нужно обращать время вспять: вы можете просто рассмотреть противоположно заряженную частицу, начинающуюся с оранжевой линии. Тогда возникает огромная проблема, когда эта частица достигает точки разделения. Этой проблемы нет на первой картинке, где силовые линии через некоторое время сближаются до бесконечности, но никогда не перекрываются.
Круто то, что поведение отслеживаемой частицы будет гиперчувствительным к начальным условиям. Например, если у вас есть частица в начальном положении высоко по вертикальной оси и чуть правее, так что она будет вращаться вправо, вы можете немного сдвинуть ее начальное положение влево и привести к тому, что его траектория полностью повернется в другую сторону. Но я ухожу от темы.