Как найти лестничные операторы, диагонализирующие гамильтониан в КТП?

У меня есть некоторые проблемы с пониманием того, как можно в контексте КТП диагонализовать гамильтониан ЧАС введением лестничных операторов а и а † (Мне трудно понять, как именно нужно получить эти операторы).

Насколько я понимаю, "диагонализация" гамильтониана означает нахождение лестничных операторов а п и а п † которые подчиняются каноническому коммутационному соотношению

[ а п , а к † ] ∝ дельта ( к − п ) и [ а к , а п ] "=" [ а к † , а п † ] "=" 0
и переписать ЧАС в терминах этих лестничных операторов такие, что
ЧАС ( а , а † ) а † | 0 ⟩ ∝ а † | 0 ⟩ и ЧАС ( а , а † ) а | н ⟩ ∝ а | н ⟩ .

Предположим, что мы хотим диагонализовать гамильтониан комплексного скалярного поля ф (которые мы получили из лагражиана л ), то есть

ЧАС "=" ∫ г 3 Икс ( π † π + ∇ ф † ∇ ф + м 2 ф † ф ) .
Этот гамильтониан является функцией ф и ф † (поскольку можно выразить π † "=" ф ˙ † и π "=" ф ˙ с точки зрения этих двух). Итак, что я сейчас ищу а ( ф , π † ) , а † ( ф , π † ) , б ( ф , π † ) и б † ( ф , π † ) (два набора операторов, т.к. ф и ф † не зависят друг от друга).

Теперь большинство (все, что я видел до сих пор) книг/конспектов лекций просто перескакивают к предположению, что мы

а п "=" ∫ г 3 Икс е я п Икс ( ю п ф ( Икс ) + я π † ( Икс ) ) а п † "=" ∫ г 3 Икс е я п Икс ( ю п ф † ( Икс ) − я π ( Икс ) ) б п "=" ∫ г 3 Икс е я п Икс ( ю п ф † ( Икс ) + я π ( Икс ) ) б п † "=" ∫ г 3 Икс е я п Икс ( ю п ф ( Икс ) − я π † ( Икс ) )
а затем показать, что они удовлетворяют тому, что мы хотим. Но как нам добраться до этих операторов? Я нашел этот пост SE , где предлагается метод, но я не могу применить его к этому примеру. Если я правильно понял, я должен просто предположить, что у нас есть

а "=" α ф + β π † , а † "=" α * ф † + β * π ,
но как насчет второй пары лестничных операторов и как отличить их от первой? Я действительно не уверен, что это работает здесь...

TL;DR: я хотел бы знать, как можно найти лестничные операторы, которые диагонализируют заданный гамильтониан. ЧАС ( ф , π ) конкретно.

Ответы (2)

Разложение a и b, на которое вы ссылаетесь, происходит от написания наиболее общего решения (классических) уравнений движения. Это позволяет идентифицировать физические степени свободы (а и b по существу являются коэффициентами Фурье решений), которые следует использовать для квантования.

Априори не очевидно, что а и b (конкретная комбинация поля и его импульса) будут разгонализовать H (и для этого вовсе не обязательно, чтобы они подчинялись коммутационным соотношениям гармонического осциллятора), а может быть необходимо в других теориях, чтобы сделать дальнейшие замены переменных для диагонализации H

Вы получите эти операторы, заметив, что гамильтониан выглядит как гамильтониан осциллятора. Формула, которую вы написали, имеет преобразование Фурье из Икс пространство для п космос. Когда вы применяете это преобразование к плотности гамильтониана, вы получаете что-то похожее на гамильтониан осциллятора.

В формуле также есть ( Икс + я п ) материал, который является стандартной формулой для операторов рождения и уничтожения для гамильтониана осциллятора Икс 2 + п 2 .

Посмотрите «Принцип квантовой механики» Р. Шанкара. Глава: Теория возмущений, зависящих от времени.

Как найти лестничные операторы, диагонализирующие гамильтониан в КТП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v