Использование формулы Дайсона в картине Шредингера

Для картины Шредингера, если вы возьмете состояние$|\psi(t)\rangle$удовлетворяющее уравнению Шредингера$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$, и напишите оператор временной эволюции U такой, что$|\psi(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$, то это дает операторное уравнение, которое$U$должны удовлетворять именно:

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$

Начальное условие состоит в том, что$U(t_0,t_0)=1$.

Для$H$зависит от времени$U$дается интегральным уравнением

$$U(t,t_0)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')U(t',t_0)\,dt'$$

Формально это решается записью$U$как упорядоченная по времени экспонента:

$$U(t,t_0)=\mathcal{T}\exp\left(\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'\right)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t'} H(t') H(t'')\,dt''\,dt'\ldots$$

Выше приведено формальное решение, полученное путем подстановки в$U$для себя в интегральном уравнении, но я полагаю, что во втором томе Рида и Саймона, в их разделе об операторах, зависящих от времени, они показывают некоторые случаи, когда это решение является точным, например, если$H$является ограниченным оператором, и некоторые случаи вида$H(t)=H_0+V(t)$, однако последний случай выполняется в интерактивном изображении.

Серия Дайсона обсуждается в книге Мессии по QM, поскольку я упомянул том Рида и Саймона.$2$для немного большей строгости, и есть хороший отрывок в книге, которую я читаю Бома, Мостафазаде, Коидзуми, Ниу, Цванцигера, под названием «Геометрическая фаза в квантовых системах», в которой это также довольно хорошо обсуждается.