Как строго определить гамильтониан КТП как
Пока я игнорирую тот факт, что сам по себе может быть плохо определен, поскольку включает в себя произведение распределений. Предположим, что является правильно определенным операторным распределением.
Во-первых, как взять интеграл такого распределения? В то время как можно было бы принять что-то похожее на интеграл как если имел компактную поддержку и на этой поддержке нет никакой гарантии, что это вообще возможно. Можно ли, например, определить операторнозначное распределение как предел последовательности операторнозначных функций и взять что-то вроде
предполагая, что предел может коммутировать с интегралом. Кроме того, какой интеграл будет использоваться здесь, является ли он одной из тех проекционнозначных мер?
В качестве альтернативы, могу ли я определить это как
для пробная функция, равная на компактной подставке постоянно увеличивающегося размера?
Вот большая картина:
Во многих случаях (неабелевы киральные калибровочные теории, такие как Стандартная модель) мы еще не знаем, как строго определить гамильтониан.
В большинстве случаев, когда мы знаем , как строго определить гамильтониан, определение включает замену непрерывного пространства дискретной (и конечной) решеткой.
Только в исключительных случаях (например, в моделях с квадратичными лагранжианами) мы умеем строго определять вещи, не прибегая к пространственной решетке. Поскольку это работает только в исключительных (обычно скучных) случаях, я не буду здесь его рассматривать.
Чтобы было ясно, когда я говорю здесь «определить гамильтониан», я на самом деле имею в виду «определить всю КТП, включая четко определенное выражение для гамильтониана в терминах полевых операторов».
В гамильтоновой формулировке КТП на основе решетки пространство имеет конечное число точек, поэтому опасения, выраженные в вопросе, исчезают. Время остается непрерывным. Один из способов приблизиться к формулировке - использовать обычный канонический процесс квантования, начиная с классического лагранжиана, в котором пространство уже дискретизировано (таким образом, пространственные градиенты заменяются конечными разностями, а интегралы заменяются суммами). Беспорядочность формулировки зависит от типов задействованных полей:
Формулировка проста, когда задействованы только скалярные поля.
Когда задействованы калибровочные поля, это становится относительно простым во временной калибровке (в которой калибровочное поле не имеет компонента), если мы используем элементы группы Ли (вместо алгебры Ли) для представления калибровочного поля. Одним из недостатков этой формулировки является то, что получающийся в результате гамильтониан никогда не бывает только квадратичным по калибровочному полю, даже для Калибровочное поле подобно электромагнитному полю. Это является препятствием для расчетов в закрытой форме. Кстати, этот "компактный Версия электродинамики автоматически включает магнитные монополи (если пространство трехмерно), которые расщепляются в континуальном пределе.
Когда задействованы спинорные поля Дирака, формулировка становится обескураживающе запутанной, но это выполнимо.
Когда речь идет о киральных (вейлевских) фермионах, в общем случае, когда их взаимодействия с калибровочными полями не инвариантны относительно пространственного отражения, мы еще даже не знаем, как это сделать.
Существует также строгая версия формулировки «интеграла по путям», в которой пространство-время заменяется дискретной решеткой. Аналогичные комментарии применимы и в этом случае, и формулировка решеточного гамильтониана может быть восстановлена с учетом предела непрерывного времени. Это альтернативный подход к проработке деталей формулировки решеточного гамильтониана, и результат можно сравнить с упомянутым выше подходом канонического квантования. Они должны согласовываться друг с другом, по крайней мере, по модулю различий, которые должны стать пренебрежимо малыми в континуальном пределе.
Ручные расчеты редко выполняются с использованием явной формулировки на основе решетки, потому что она быстро становится слишком запутанной. Тем не менее, понимание того, как модель может быть строго определена на решетке, по-прежнему ценно, потому что всякий раз, когда мы сталкиваемся с проблемами с наивными манипуляциями с непрерывным пространством (такими как расходящиеся интегралы Фейнмана и т. д.), мы можем повторить наши шаги, начиная с четко определенной решетки. формулировка, чтобы точно понять, что пошло не так и как это исправить — по крайней мере, концептуально.