Регуляризация бесконечномерных определителей

Континуальные собственные значения и собственные векторы оператора Шредингера являются предельными низколежащими собственными значениями и собственными векторами дискретных решеточных приближений. Учитывая оператор Шредингера

$$H= \sum_i A_i \partial_i^2 + V(x_1,....,x_n)$$

Где V относится к соответствующему классу (гладкость слишком ограничительна — у вас могут быть и дельта-функции, и случайные потенциалы, но я не знаю наилучшего возможного класса функций — это может быть любой интегрируемый потенциал, т. е. любой РЕДАКТИРОВАТЬ: конечно, это невозможно, так как уровни энергии -1 / r ^ n убегают, чтобы быть локализованными в верхней части притягательного пятна.Участвует правильное условие для потенциала, но вы можете принять его за непрерывным для этого обсуждения), вы заменяете крестики квадратной решеткой интервалов$\epsilon$и суммарного размера L в каждом направлении с периодическими границами, заменить$\nabla_i$по решетке$\nabla_i$

$$(H_L \psi) (x) = \sum_i {A_i\over \epsilon^2} (\psi(x_i + \epsilon) - 2\psi(x_i) + \psi(x_{i-1})) + V_L(x) \psi(x)$$

Где V_L(x) — интеграл по одному объему решетки континуума V(x) в$\epsilon$прямоугольник с центром в точке x, а дискретная вторая производная представляет собой разницу между прямой и обратной разницей.

Тогда приблизительно гладкие низколежащие собственные векторы$H_L$сходятся к собственным значениям H в континуальном пределе, а что касается высоких собственных векторов, кого это волнует, это артефакты решетки. Я уверен, что все это можно строго доказать, хотя с физической точки зрения, если бы это было не так, уравнение Шрёдингера было бы физически подозрительным.

Вы можете увидеть сходимость на компьютере, если смоделируете дискретизированный оператор Шредингера. Вы можете относительно легко доказать сходимость дискретного пропагатора к непрерывному из интеграла по путям. Для отдельных собственных значений и собственных векторов все будет несколько сложнее. Если вам нужно математическое доказательство, я могу попытаться его набросать.

РЕДАКТИРОВАТЬ: определяющая формула

Если вы посмотрите на уравнение на собственные значения для конечномерного оператора$H_L$,

$$det(H_L - \lambda I)$$

вы найдете полином конечной степени, нули которого являются собственными значениями уравнения в пределе$\epsilon\rightarrow 0$,$L\rightarrow\infty$.

Как вы уже сказали, есть много способов понять "регуляризацию" и она не очень часто связана с дискретным пределом - скорее это пакости для придания смысла определенным суммам/интегралам, которые явно расходятся. Здесь проблема в другом - мы априори не знаем, КАКИМ должен быть этот дивергентный объект - чтобы иметь дивергенцию, мы должны иметь предел, а предела у нас пока нет. Итак, вопрос скорее в определении, чем в «регуляризации», которая может понадобиться на более поздних этапах.

Итак, я могу предложить определение - у нас есть тождество для конечномерных операторов (допустим, U унитарно), :$det(I-\lambda U) = exp(Tr(ln(I-\lambda U))$. Это всегда правильно, потому что$I-\lambda U$является нормальным и, следовательно, диагонализируемым.

Мы можем разложить ln в ряд Тейлора около 1, чтобы получить (обычный ряд Тейлора, когда U находится в собственном базисе, никаких проблем с радиусом сходимости, если смотреть на U, поскольку модуль всех собственных значений U равен 1).

$$det(I-\lambda U) = exp(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n} Tr\, (U^n) )$$

Теперь мы имеем выражение, явно содержащее предел и в то же время корректно определенное для оператора U в конечномерном комплексном гильбертовом пространстве. Обратите внимание, что появление предела является побочным эффектом, а не преднамеренным. Теперь мы можем спросить, имеет ли смысл это выражение, когда наше пространство становится бесконечномерным. Существуют теоремы, которые утверждают, что если U ограничено (т.е.$\exists_{M>0}: \forall_{v \in V}\,\, ||U v||\leq M \, ||v||$) и класс трассировки (так что трасса всегда существует и конечна) приведенная выше формула корректно определена в бесконечномерном случае. Для унитарных операторов эти требования сводились к плотности его диапазона, который будет плотным (по крайней мере, для разумных гамильтонианов, порождающих этот унитарный траффик). Таким образом, приведенное выше выражение хорошо определено в бесконечномерном гильбертовом пространстве почти без каких-либо существенных дополнительных гипотез или какой-либо «регуляризации». Теперь все, что нам нужно сделать, это найти нули этой четко определенной дзета-функции:

$$\zeta(\lambda) = {det(I-\lambda U)} = exp(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n} Tr (U^n) )$$ И, честно говоря, я не имею ни малейшего представления, как это сделать! Однако я совершенно уверен, что никто никогда не доказывал, что это невозможно :). Думаю, было бы несложно начать с доказательства того, что все нули лежат на единичной окружности (да ладно, мы все знали это с самого начала!). К сожалению, у меня нет ни времени, ни идей, чтобы заняться этим сейчас. Кто-то?

Нахождение корней многочлена конечной и бесконечной степени отличается. Если корни многочлена конечной степени всегда существуют, то для бесконечной степени это не так, пример

$$exp(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}=0$$ не имеет точных конечных корней