Как найти скорость в задаче о двойном падении мяча?

Задача о двойном падении мяча выглядит следующим образом:

Шар массы$m$находится сверху шара массой$M$(где$m < M$), и шары падают одновременно с некоторой высоты$h$. Когда шары упадут на пол, верхний шар взлетит вверх. Какова скорость этого шара в момент его взлета вверх?

И поэтому я спрашиваю; Есть ли простой вывод этой проблемы без использования исчисления?

Я пытался решить ее, используя закон сохранения импульса, кинетической и механической энергии, но, похоже, не смог ее решить. Моя попытка заключается в следующем:

Во-первых, мы можем найти скорость большего шара, используя закон сохранения импульса:

$$p_\text{before} = p_\text{after}$$

$$(m + M)\sqrt{2gh} = mv_m + Mv_M$$

$$v_M = \frac{(m + M)\sqrt{2gh} - mv_m}{M}$$

Тогда, используя закон сохранения кинетической энергии:

$$\frac{1}{2}(m + M)\sqrt{2gh}^2 = \frac{1}{2}mv_m^2 + \frac{1}{2}Mv_M^2$$

$$v_M = \sqrt{\frac{2gh(m + M) - mv_m^2}{M}}$$

И тогда вы можете приравнять два, чтобы получить:

$$\sqrt{\frac{2gh(m + M) - mv_m^2}{M}} = \frac{(m + M)\sqrt{2gh} - mv_m}{M}$$

Однако это при решении дает$v_m = \sqrt{2gh}$, что не соответствует тому, чему меня учили (говоря, что скорость должна быть примерно в три раза больше).

Что я делаю не так в этом выводе? Математика верна, я уверен. Это где-то в самой физике, концепция, которую я упускаю.

Любая помощь приветствуется.