Матрица Паули для триплетного состояния?

Question

Матрица Паули для триплетного состояния?

Прасад Мани

Вопрос в том, что будет результатом применения оператора $\hat A = [3I + \vec\sigma_1 . \vec\sigma_2]$ на |синглете $\rangle$ и | триплет $\rangle$ состояния ( $\vec\sigma_1$ действует на 1-ю частицу и $\vec\sigma_2$ действует ТОЛЬКО на вторую частицу), т.е.

\hat{А} | с я н г л е т ⟩ "=" ? | с я н г л е т ⟩

$\hat A|singlet\rangle=?|singlet\rangle$

и

\hat{А} | т р я п л е т ⟩ "=" ? | т р я п л е т ⟩

$\hat A|triplet\rangle=?|triplet\rangle$

Я застрял в тройной части вопроса.

Для системы двух спиновых получастиц, где $\vec\sigma_1$ действует на 1-ю частицу и $\vec\sigma_2$ действует ТОЛЬКО на вторую частицу (как добавление углового момента двух электронов)

\vec{о} "=" {\vec{о}}_{1} + {\vec{о}}_{2}

$\vec\sigma=\vec\sigma_1+\vec\sigma_2$

возведение обеих сторон в квадрат,

{\vec{о}}^{2} "=" ({\vec{о}}_{1} + {\vec{о}}_{2})^{2}

$\vec\sigma^2=(\vec\sigma_1+\vec\sigma_2)^2$

из которого мы имеем

{\vec{о}}_{1} . {\vec{о}}_{2} "=" (о^{2} - о_{1}^{2} - о_{2}^{2}) / 2

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (\sigma^2 - \sigma_1^{2} - \sigma_2^{2})/2$

Сейчас, $\sigma_1^{2}=\sigma_{1x}^{2}+\sigma_{1y}^{2}+\sigma_{1z}^{2}=3I$ и аналогично, $\sigma_2^{2}=3I$ .

а для синглетного состояния значение $\sigma^2=0$ , (что я понял из общего вращения $0$ для синглетного состояния), что дает

{\vec{о}}_{1} . {\vec{о}}_{2} "=" (0 - 3 я - 3 я) / 2 "=" - 3 я

$\vec\sigma_1 . \vec\sigma_2 = (0 - 3I - 3I)/2=-3I$

Я не знаю, какова ценность $\sigma^2$ для триплетного состояния (я знаю, что полный спин $S$ является $\sqrt2\hbar$ )?

Я не могу связать общее вращение с $\vec\sigma$ правильно

грабить

Попробуйте записать матрицу и вектор состояния триплета. Отредактируйте этот вопрос, чтобы поместить его в очередь повторного открытия, если впоследствии у вас возникнет концептуальный вопрос.

Прасад Мани

@rob, пожалуйста, прояви немного понимания. Возможно, вы этого не понимаете, но я потратил пару часов, пытаясь понять, как написать полную матрицу Паули для триплетного состояния. Все, что у меня есть, это разрозненные знания о матрицах Паули и синглетных и триплетных состояниях. Жаль, что пользователь вашего уровня не может иметь немного сочувствия к моему пользователю. Тот факт, что у вас есть право откладывать вопросы, не означает, что вы должны откладывать их, если они не соответствуют вашей интерпретации высоких стандартов этого сайта. Дайте другим шанс ответить на мои сомнения.

грабить

Извините, если я показался грубым, @Prasad — показать сочувствие, не говоря многословно, сложно. Ваш отредактированный пост должен быть в очереди на повторное открытие, и это своего рода вопрос, похожий на домашнее задание, с которым могут помочь люди из Physics Chat .

Прасад Мани

@rob Разве это слишком много, чтобы просто дать быстрый ответ? Дан ответ

8 I

$8I$ .... бывает так...

σ = 2 S

$\sigma=2S$ где

S = \sqrt{2}

$S=\sqrt2$ и поэтому

σ^{2} = 4 S^{2} = 8 I

$\sigma^2=4S^2=8I$ . Чего я не понимаю, так это как

σ = 2 S

$\sigma=2S$ для тройки.

ZeroTheHero

извините, но ваш вопрос вообще не ясен. Конечно,

σ_{1}

$\sigma_1$ действует на 1-ю частицу и т. д., но что делает

σ^{2}

$\sigma^2$ действовать? Предположительно, это общее вращение, поэтому

σ^{2}

$\sigma^2$ это просто единичный оператор (который вы, кажется, называете

I

$I$ ) умножается на

S (S + 1) = 1 \times 2 = 2

$S(S+1)=1\times 2=2$ для тройки.

Прасад Мани

@ZeroTheHero, яснее?

Ответы (2)

Матрица Паули для триплетного состояния?

Попробуйте записать матрицу и вектор состояния триплета. Отредактируйте этот вопрос, чтобы поместить его в очередь повторного открытия, если впоследствии у вас возникнет концептуальный вопрос.
@rob, пожалуйста, прояви немного понимания. Возможно, вы этого не понимаете, но я потратил пару часов, пытаясь понять, как написать полную матрицу Паули для триплетного состояния. Все, что у меня есть, это разрозненные знания о матрицах Паули и синглетных и триплетных состояниях. Жаль, что пользователь вашего уровня не может иметь немного сочувствия к моему пользователю. Тот факт, что у вас есть право откладывать вопросы, не означает, что вы должны откладывать их, если они не соответствуют вашей интерпретации высоких стандартов этого сайта. Дайте другим шанс ответить на мои сомнения.
Извините, если я показался грубым, @Prasad — показать сочувствие, не говоря многословно, сложно. Ваш отредактированный пост должен быть в очереди на повторное открытие, и это своего рода вопрос, похожий на домашнее задание, с которым могут помочь люди из Physics Chat .
@rob Разве это слишком много, чтобы просто дать быстрый ответ? Дан ответ $8I$ .... бывает так... $\sigma=2S$ где $S=\sqrt2$ и поэтому $\sigma^2=4S^2=8I$ . Чего я не понимаю, так это как $\sigma=2S$ для тройки.
извините, но ваш вопрос вообще не ясен. Конечно, $\sigma_1$ действует на 1-ю частицу и т. д., но что делает $\sigma^2$ действовать? Предположительно, это общее вращение, поэтому $\sigma^2$ это просто единичный оператор (который вы, кажется, называете $I$ ) умножается на $S(S+1)=1\times 2=2$ для тройки.

Космас Захос · Answer 1

Как и просил @rob, вы должны просто записать

\hat{Б} \equiv {\vec{о}}_{1} \cdot {\vec{о}}_{2} "=" о_{1}^{Икс} о_{2}^{Икс} + о_{1}^{у} о_{2}^{у} + о_{1}^{г} о_{2}^{г} "=" (о_{1}^{Икс} + я о_{1}^{у}) (о_{2}^{Икс} - я о_{2}^{у}) / 2 + (о_{1}^{Икс} - я о_{1}^{у}) (о_{2}^{у} + я о_{2}^{у}) / 2 + о_{1}^{г} о_{2}^{г} \equiv о_{1}^{+} о_{2}^{-} + о_{1}^{-} о_{2}^{+} + о_{1}^{г} о_{2}^{г},

$\hat{B}\equiv\vec{\sigma}_1\cdot\vec{\sigma}_2 = {\sigma}_1^x {\sigma}_2^x +{\sigma}_1^y {\sigma}_2^y+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z \\= ({\sigma}_1^x+i {\sigma}_1^y)({\sigma}_2^x -i{\sigma}_2^y )/2 +({\sigma}_1^x-i{\sigma}_1^y ) ({\sigma}_2^y +i{\sigma}_2^y)/2+{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z\\ \equiv {\sigma}_1^+ {\sigma}_2^- +{\sigma}_1^- {\sigma}_2^+ +{\sigma}_1^z {\sigma}_2^z ~,$ где

σ^{+} ↑= 0

$\sigma^+ \uparrow=0$ , и

σ^{+} ↓=↑ \sqrt{2}

$\sigma^+ \downarrow=\uparrow \sqrt{2}$ и т.д... как для 1, так и для 2. Напомним

о^{+} "=" \sqrt{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma^+ = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} .$

Действуя на синглет, $\uparrow \downarrow- \downarrow \uparrow$ , этот $\hat B$ имеет очевидное собственное значение -3.

Тройка $\uparrow \uparrow$ ; $(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow)/\sqrt{2}$ ; $\downarrow \downarrow$ , поэтому, очевидно, имеет собственное значение 1 под действием $\hat{B}$ .

Твой $\hat A= 3 1\!\!1 +\hat{B}$ имеет собственные значения 0 и 4 соответственно, учитывая мои нормализации. Это, конечно, означает, что для тройки $\sigma^2/4=2=(1+1)1$ , как и ожидалось.

Спасибо, это проясняет ситуацию. Только еще одна вещь. Разве $\sigma^+$ "=" $\sigma^x+i\sigma^y$ ? Что является дополнительным фактором $1/\sqrt{2}$ . Я понимаю, что вы должны были написать это так. Но $\sigma^+$ определяется как $\sigma^x+i\sigma^y$ верно?
Я отредактировал свой ответ, чтобы отобразить явно $σ^+$ как нормализовано в предыдущем выражении для точечного члена, поэтому тогда $1/\sqrt{2}$ того, что вы пишете. Я использую матрицы Паули, а не спиновые матрицы, которые составляют половину матриц Паули. Таким образом, ответ — это просто грубая оценка произведения матричного тензора.

ZeroTheHero · Answer 2

Параметр $\hbar=1$ для простоты вам нужны матрицы $S=1$ матрицы. Человек легко получает

С_{г} "=" (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), С_{+} "=" \sqrt{2} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), С_{+} "=" С_{-}^{†},

$S_z=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\, ,\quad S_+=\sqrt{2}\left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\, ,\quad S_+=S_-^\dagger,$ от которого выздоравливает

S_{x}

$S_x$ и

S_{y}

$S_y$ инвертируя

S_{\pm} = S_{x} \pm i S_{y}

$S_\pm=S_x\pm i S_y$ . Матрица для

S^{2}

$S^2$ будет

2 \times I

$2\times I$ где

I

$I$ это

3 \times 3

$3\times 3$ единичная матрица.

Извините, я так и думал. Но ответ у меня есть $8I$ . Я не знаю, что правильно. Смотрите комментарии, где я рассказал Робу, как это произошло.
Я не понимаю, как ты это делаешь $\sigma=2S$ . $\sigma$ сам по себе не является числом и не является отдельным оператором. $\sigma^2$ имеет смысл как сумма квадратов всех компонентов, но что $\sigma$ ? Матрица?
Вам нужны матрицы для триплетных состояний, они такие, как указано выше. Больше ничего нет.
Я не сделал этого вывода… я упомянул все, что было дано в моей книге… я подумал, что это не имеет смысла… поэтому я спросил здесь. Итак, подводя итог, $\sigma=S$ без $\hbar$ верно? Я не знаю, почему они взяли 2S
Извините, вы так и не пояснили, что $\sigma$ . Это оператор, вектор операторов или число?
Это оператор. На самом деле это сложение двух разных операторов, которые действуют на соответствующие им частицы.
Я не думаю, что обращение с двумя половинами спина в триплетном состоянии такое же, как с ОДНОЙ частицей со спином 1, даже если они похожи с точки зрения их $m_s$ квантовое число. Таким образом, матрицы Паули по-прежнему $2x2$ . Вы должны относиться к ним как к отдельным, хотя и неразличимым объектам.

Матрица Паули для триплетного состояния?

Прасад Мани

грабить

Прасад Мани

грабить

Прасад Мани

ZeroTheHero

Прасад Мани

Ответы (2)

Космас Захос

Прасад Мани

Космас Захос

ZeroTheHero

Прасад Мани

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Прасад Мани

ZeroTheHero

Прасад Мани

Прасад Мани

Как определить, является ли собственное состояние полного спина симметричным или антисимметричным?

Распад нейтрального каона на два пиона и сохранение углового момента

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Собственные значения системы из двух частиц в связанном и несвязанном базисе

Гамильтониан гармонического осциллятора со спиновым членом

Как получить векторное соотношение для частоты Раби?

Триплетные и синглетные состояния: фермионные или бозонные?

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Спиноры и вероятности электрон-позитронной пары