Как определяется связанное состояние в квантовой механике?

Question

Как определяется связанное состояние в квантовой механике?

СРС

Как в квантовой механике определяется связанное состояние для состояний, не являющихся собственными состояниями гамильтониана, т. е. не имеющих определенных энергий? Может ли состояние суперпозиции наподобие

ψ (Икс, т) знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} ф_{1} (Икс, т) + \frac{1}{\sqrt{2}} ф_{2} (Икс, т),

$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1(x,t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2(x,t),$ куда

ϕ_{1}

$\phi_1$ и

ϕ_{2}

$\phi_2$ являются энергетические собственные состояния связанным состоянием? Как решить?

Ответы (4)

Как определяется связанное состояние в квантовой механике?

предложение не может отказаться · Answer 1

предложение не может отказаться

Связанное состояние определяется таким образом, что среднее значение плотности вероятности будет конечным в некоторой конкретной области пространства по прошествии времени. В то время как для неограниченных состояний с течением времени плотность вероятности будет стремиться к нулю. См . раздел 10 квантовой механики Ландау .

Это можно понимать так, если состояние ограничено, т.е. существует только в какой-то определенной области, поэтому плотность вероятности должна быть конечной в этой области с течением времени. Наоборот, когда состояние представляет собой свободное движение, волновой пакет будет расширяться с течением времени, поэтому плотность вероятности в любой точке будет стремиться к нулю при стремлении времени к бесконечности.

Изменить: теперь я хочу сказать, что дискретные собственные состояния ИЛИ их суперпозиции являются связанными состояниями; в противном случае является неограниченным.

Обратите внимание, что в этом определении связанного состояния средняя энергия $E<V(\pm\infty)$ всегда держит. Однако, $E<V(\pm\infty)$ не может гарантировать, что состояние будет ограниченным. Например, состояние (подобное этому) , состоящее как из дискретных, так и из непрерывных спектров, может иметь среднюю энергию $E$ либо больше, либо меньше, чем $V(\pm\infty)$ . Вы могли бы сказать, что это неограниченный, это зависит.

Критерий $E<V(\pm\infty)$ гарантирует ограниченное состояние тогда и только тогда, когда $E$ вы имеете в виду энергию собственного состояния.

сяохуамао

А как насчет вероятности 0,5 в конечной области А и других 0,5 размазывания до бесконечности? Кажется, противоречит вашему 1-му предложению def.

предложение не может отказаться

@huotuichang Да, я тоже думал об этом вчера. Тогда можем ли мы сказать, что связанное состояние, не связанное с собственным состоянием, является суперпозицией собственных состояний, соответствующих дискретным собственным значениям? В то время как он ни связан, ни несвязан, когда он имеет бесконечную составляющую движения?

сяохуамао

Почему бы не использовать

E > V (\infty)

$E>V(\infty)$ как критерий неограниченных состояний?

предложение не может отказаться

@huotuichang Использование этого критерия означает, что одно состояние с бесконечным компонентом движения ограничено, а другое может не быть ограничено. Поэтому я думаю, что двусмысленно говорить о связанном или несвязанном, когда речь идет о смеси дискретных и непрерывных состояний.

сяохуамао

Нет, я считаю это однозначным. Я только что нашел вышеупомянутый случай конечного A + бесконечности нереалистичным, поскольку он возникает только тогда, когда существует бесконечно высокая стена, что де-факто делает две области совершенно не связанными. Так что дайте мне пример типа смеси, если можете.

предложение не может отказаться

@huotuichang У меня нет под рукой примера реальной системы. Почему бы не уточнить причину, по которой вы считаете, что это нереально? Поскольку математически мы всегда можем написать состояние, состоящее из этих двух частей.

Пустота

Рассмотрим гармонический осциллятор , все связанные состояния убывают экспоненциально, но почти везде они отличны от нуля. Для действительно строгого определения вы должны сказать, что связанное состояние находится в конечной области вплоть до экспоненциального спада. Что в основном похоже на утверждение, что спектр состояния находится строго ниже

V (\infty)

$V(\infty)$ . Единственное достоинство этого определения заключается в случае гамильтонианов, зависящих от времени.

предложение не может отказаться

@Void Для связанных состояний, которые являются стационарными состояниями

E_{n} < V (\infty)

$E_n<V(\infty)$ , я хочу сказать, что их линейная комбинация также является связанным состоянием. Ожидаемая стоимость энергии

E

$E$ для этого состояния, очевидно, меньше, чем

V (\infty)

$V(\infty)$ , это то же самое, что и ваш аргумент. пс: что ты имеешь в виду под своим последним предложением

Пустота

@luming Да, это то, что я имею в виду, говоря, что спектр строго ниже

v (\infty)

$v(\infty)$ - это суперпозиция энергетических собственных состояний с энергией ниже

V (\infty)

$V(\infty)$ и вам не нужно вдаваться в сложные определения для определения связанного состояния, кроме этого. В случае гамильтониана, зависящего от времени, потенциал может «выбить» состояние, например, изменив его знак (т.е. собственные состояния энергии в фиксированный момент времени не являются стационарными). Тогда полезно определить связанное состояние как с экспоненциальным спадом во все времена.

предложение не может отказаться

@Void Что насчет состояния, представляющего собой смесь дискретного и непрерывного, трудно сказать, что это связанное состояние. Однако

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ возможно в этом случае.

Пустота

@luming Я действительно не понимаю, о чем ты спрашиваешь. Собственные состояния континуума никогда не бывают

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ и даже если бы они были, разложение на собственные состояния энергии уникально с полным набором коммутирующих наблюдаемых . Из уравнения Шрёдингера сразу следует, что для

x, V (x) > E

$x,\, V(x)>E$ волновая функция должна падать экспоненциально.

предложение не может отказаться

@Void Я больше не говорю о собственном состоянии, я пытаюсь сказать

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ критерий не работает, когда мы говорим о физическом состоянии, подобном этому physics.stackexchange.com/q/139311 . Поскольку средняя энергия может быть меньше

V (\infty)

$V(\infty)$ в этом случае, однако, вы не можете сказать, связан он или нет

Пустота

Продолжим обсуждение в чате .

Эмилио Писанти · Answer 2

Связанные состояния обычно понимаются как собственные состояния энергии, интегрируемые с квадратом; то есть волновые функции $\psi(x)$ которые удовлетворяют

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (Икс) |^{2} г Икс < \infty и \hat{ЧАС} ψ знак равно Е ψ .

$\int_{-\infty}^\infty|\psi(x)|^2\text dx<\infty \quad\text{and}\quad \hat H \psi=E\psi.$

Это обычно используется по сравнению с континуальными состояниями , которые (формально) подчиняются уравнению собственного значения $\hat H\psi=E\psi$ , но чья норма бесконечна. Поскольку их норма бесконечна, эти состояния не лежат внутри обычного гильбертова пространства. $\mathcal H$ , обычно принимаемый за $L_2(\mathbb R^3)$ , поэтому уравнение на собственные значения верно только формально, если его рассматривать наивно - состояния лежат вне области определения оператора. (Конечно, можно строго работать с континуальными состояниями с помощью конструкции, известной как оснащенные гильбертовы пространства , хорошим справочником по которой является вот этот .)

Любопытный Разум · Answer 3

Поскольку состояния, не являющиеся собственными состояниями гамильтониана, также не являются собственными состояниями эволюции во времени, то говорить о «связанных состояниях» для этих состояний не имеет смысла, так как они постоянно переходят в другие состояния. Для собственных состояний энергии имеет смысл говорить о «связанном состоянии», поскольку это состояние останется неизменным навсегда, если на него не воздействовать.

По этому определению кулоновские волны также являются связанными состояниями.

Апурв Потнис · Answer 4

Связанные состояния системы — это состояния, при которых частица (частицы) все время остается локализованной в ограниченной области пространства. Рассмотрим случай для одиночной частицы. $\mathcal{H} := \mathrm{L}^2(\mathbb{R}^3)$ гильбертово пространство одной частицы, где $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ . Чистое состояние $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ называется связанным состоянием тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ , существует ограниченное множество $A \subset \mathbb{R^3}$ такой, что

\int_{А} | ψ (р, т) |^{2} г^{3} р \geq 1 - ϵ

$\int_A |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\mathbf{r} \geq 1 - \epsilon$ для всех

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ . Интеграл фиксирует вероятность того, что частица будет найдена в области

A

$A$ вовремя

t

$t$ . Если эта вероятность остается сколь угодно близкой к

1

$1$ на все времена, то можно сказать, что частица остается в этой области на все времена. Обратите внимание, что сначала мы фиксируем

A

$A$ а затем развивать состояния во времени. Наш выбор

A

$A$ должно быть действительным для всех времен.

В состояниях рассеяния можно представить, что частица убегает в бесконечность с течением времени. Аналогично, если для каждого ограниченного множества $A \subset \mathbb{R}^3$

\int_{А} | ψ (р, т) |^{2} г^{3} р \to 0,

$\int_A |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\mathbf{r} \rightarrow 0,$ в качестве

t \to + \infty

$t \rightarrow +\infty$ , мы говорим, что состояния являются состояниями рассеяния . Теперь при любом выборе нашего ограниченного множества интеграл, т. е. вероятность найти частицу внутри нашей области

A

$A$ должно исчезнуть как

t \to + \infty

$t \rightarrow +\infty$ . Если мы предположим, что наш гамильтониан не зависит от времени, мы можем заменить

t

$t$ от

| t |

$|t|$ .

Определения могут быть соответствующим образом распространены на многочастичный случай.

Использованная литература:

Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эдвард (2015). «Некоторые приложения спектрального представления». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства, вариационные методы и приложения в квантовой физике (2-е изд.). Швейцария: Springer International Publishing. п. 431. ISBN 978-3-319-14044-5.
Густафсон, Стивен Дж.; Сигал, Исраэль Майкл (2011). «Спектр и динамика». Математические концепции квантовой механики (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 50. ISBN 978-3-642-21865-1.
Руэль, Дэвид (9 января 2016 г.). «Замечание о связанных состояниях в теории рассеяния потенциала». Нуово Чименто А (1965-1970) . 61 (июнь 1969 г.): 655–662. дои: 10.1007/BF02819607. пдф .

Я не знаю, справедливо ли подобное определение для смешанных или ненормальных состояний.

Как определяется связанное состояние в квантовой механике?

СРС

Ответы (4)

предложение не может отказаться

сяохуамао

предложение не может отказаться

сяохуамао

предложение не может отказаться

сяохуамао

предложение не может отказаться

Пустота

предложение не может отказаться

Пустота

предложение не может отказаться

Пустота

предложение не может отказаться

Пустота

Эмилио Писанти

Любопытный Разум

Эмилио Писанти

Апурв Потнис

Апурв Потнис

Квантовая шутка (не настоящая шутка, не загадка)

В чем разница между классической и квантовой векторной суперпозицией?

В чем разница между квантовыми состояниями |01⟩+|10⟩|01⟩+|10⟩\left|01\right> + \left|10\right> и |01⟩−|10⟩|01⟩−| 10⟩\влево|01\вправо> - \влево|10\вправо>? [дубликат]

Путаница о смешанных состояниях и чистых состояниях

Что означает когерентная суперпозиция?

Квантовое состояние в расширенном базисе или просто ортонормированное множество

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Что именно подразумевается под квантовым состоянием в КМ?