Спиноры Дирака, Вейля и Майораны

Вспомним спинор Дирака, подчиняющийся лагранжиану Дирака.

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi.$$

Спинор Дирака является четырехкомпонентным спинором, но может быть разложен на пару двухкомпонентных спиноров, т.е. мы предлагаем

$$\psi = \left( \begin{array}{c} u_+\\ u_-\end{array}\right),$$

и лагранжиан Дирака становится,

$$\mathcal{L} = iu_{-}^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}u_{-} + iu_{+}^{\dagger}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+} -m(u^{\dagger}_{+}u_{-} + u_{-}^{\dagger}u_{+})$$

куда$\sigma^{\mu} = (\mathbb{1},\sigma^{i})$а также$\bar{\sigma}^{\mu} = (\mathbb{1},-\sigma^{i})$куда$\sigma^{i}$– матрицы Паули и$i=1,..,3.$Двухкомпонентные спиноры$u_{+}$а также$u_{-}$называются вейлевскими или киральными спинорами. В пределе$m\to 0$, фермион может быть описан одним спинором Вейля, удовлетворяющим, например,

$$i\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+}=0.$$

Фермионы Майораны подобны фермионам Вейля; они также имеют двухкомпонентный состав. Но они должны удовлетворять условию реальности и должны быть инвариантны относительно зарядового сопряжения. Когда вы расширяете майорановский фермион, коэффициенты Фурье (или операторы при каноническом квантовании) действительны. Другими словами, майорановский фермион$\psi_{M}$можно записать в терминах спиноров Вейля как

$$\psi_M = \left( \begin{array}{c} u_+\\ -i \sigma^2u^\ast_+\end{array}\right).$$

Спиноры Майорана часто используются в суперсимметричных теориях. В модели Весса-Зумино — простейшей модели SUSY — супермультиплет строится из комплексного скаляра, вспомогательного псевдоскалярного поля и майорановского спинора именно потому, что в отличие от дираковского спинора он имеет две степени свободы. Действие теории просто,

$$S \sim - \int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi^{\ast}\partial_\mu \phi + i \psi^{\dagger}\bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi + |F|^2 \right)$$

куда$F$вспомогательное поле, уравнения движения которого задают$F=0$но это необходимо по соображениям согласованности из-за степеней свободы вне оболочки и внутри оболочки.

После того, как вы узнаете больше о спинорах, вы увидите, что все спиноры принадлежат$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$представительство$SL(2,C)$группа, которая является двойным покрытием группы Лоренца$SO(3,1)$. Идея состоит в том, чтобы найти представления односвязной накрывающей группы, которая в данном случае$SL(2,C)$, локальная структура, заданная алгебраическим коммутационным соотношением Ли, остается прежней.

Спинориальные уравнения позволяют выделять лоренц-инвариантные подпространства в общем пространстве$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$представление.

И дираковский, и майорановский спиноры принадлежат$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$представительство$SL(2,C)$группы, но они являются лишь ее подпространствами . Например, все майорановские спиноры электрически нейтральны (т.е. остаются инвариантными при зарядовом сопряжении). Точно так же спиноры Дирака «магнитно нейтральны».

Спиноры Вейля принадлежат либо$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$или же$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$подпространства. В отличие от спиноров Дирака и Майораны, их можно рассматривать как двухкомпонентные спиноры. Но это также ограничение, потому что к этим спинорам нельзя применить некоторые специальные преобразования Лоренца.