Интерпретация спиноров ранга 2

Question

Интерпретация спиноров ранга 2

Джек

Во время осмотра $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ представление группы Лоренца и определение правого спинора с верхним пунктирным индексом и левого спинора с нижним непунктирным индексом и, следовательно,

в_{б}^{\dot{а}} "=" в^{ν} о_{б ν}^{\dot{а}} "=" (\begin{matrix} в_{1} + я в_{2} & - (в_{0} + в_{3}) \\ в_{0} - в_{3} & - (в_{1} - я в_{2}) \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3) \\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ и

в^{\dot{а} б} "=" ϵ^{б с} в_{с}^{\dot{а}}

$v^{ \dot{a} b} = \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$

со спинорной метрикой

ϵ^{б с} "=" (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

$\epsilon^{bc}= \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$

видно, что спинор ранга 2 $v^{ \dot{a} b}$ имеет точно такие же свойства преобразования, как 4-вектор $v_{\mu}$ . Но точно так же можно видеть, например, $v^{\dot{a}}_b$ трансформируется по-разному. Существуют ли какие-либо физические интерпретации этих объектов? Описывают ли они конкретные частицы (не векторные частицы?)? Любая помощь или предложение по чтению будут высоко оценены.

Тримок

Лучше использовать стандартный формализм, см., например, эту статью , формулы

2.18 \to 2.32

$2.18 \to 2.32$ . Теперь матрица

ϵ^{b c}

$\epsilon^{bc}$ явно инвертирует проекцию спина

m

$m$ непунктирной (спинорной) части, например, говоря о состояниях,

(\pm \frac{1}{2}, + \frac{1}{2}) \to \mp (\mp \frac{1}{2}, + \frac{1}{2})

$( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .

Джек

Спасибо за ваше предложение чтения, бумага выглядит великолепно. В уравнении 2.32 статьи установлена явная связь между 4-векторами и биспинорами. Что мне неясно, так это то, почему должен быть сделан именно этот выбор и что означает, например, другой выбор.

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ описывать?

Тримок

Я думаю, что идея, например, в рассмотрении уравнения

2.30

$2.30$ , состоит в том, что "матрицы" имеют

2

$2$ индексы на одном уровне (вверх или вниз). Теперь вы можете выбрать свои собственные соглашения, пока весь формализм непротиворечив, но лучше следовать стандартным правилам, которые более или менее используются в научных работах.

Джек

Это звучит логично, но, насколько я понимаю, матрицы преобразования всегда имеют один индекс вверх и один индекс вниз, и это как-то противоречит соглашению. См., например, строку ниже 2.18.

Тримок

Да, но эти матрицы имеют пространственно-временные (векторные) индексы, а не спинорные индексы, так что противоречия нет.

Джек

Я думаю, что это спинорные индексы, потому что, например, в строке ниже экв. 2.18 на индексах есть точки.

Тримок

Ах да,

M

$M$ матрица между

2.17

$2.17$ и

2.18

$2.18$ . Теперь здесь логика, потому что, глядя на спиноры, на которые действует эта матрица, конечный спинор имеет ту же природу, что и исходный спинор, поэтому обязательно должен быть один верхний индекс и один нижний индекс. Здесь у вас нет выбора.

Вальтер Моретти

@JakobH Я не понимаю вашего вопроса. Или, лучше, я думаю, что его можно считать похожим на этот. Если

S^{μ}

$S^\mu$ имеет физический смысл, отличный от

S_{μ}

$S_\mu$ .Я так не думаю, потому что пространства этих векторов канонически изоморфны в силу существования метрики. Два рассматриваемых вами пространства спиноров одинаково канонически изоморфны посредством метрического спинора, поэтому они содержат одну и ту же информацию.

Джек

Привет, Вальтер. В книгах я нахожу такие предложения, как: Если мы определим объект

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ мы видим, что коэффициенты

v^{ν}

$v^{\nu}$ преобразование, как у четырех векторов. Но почему мы смотрим на этот конкретный объект? Вместо этого мы могли бы провести идентификацию

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ где коэффициенты

v^{ν}

$v^{\nu}$ не преобразовывайте, как четыре векторных коэффициента. Почему эта возможность исключена?

Вальтер Моретти

Ну если

S L (2, C) ∋ L \mapsto Λ_{L} \in S O (1, 3)^{+}

$SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ — стандартная проекция, для первой мы имеем (как мы знаем) с очевидными обозначениями:

(Λ_{L} v) = L v L^{†}

$(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , для последнего вместо

(Λ_{L} v) = L v {\bar{L}}^{- 1}

$(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$

Джек

Я согласен с этим, но если мы проведем идентификацию

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ мы можем преобразовать это в

v^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}$ со спинорной метрикой:

v^{\dot{a} b} = ϵ^{b c} v_{c}^{\dot{a}}

$v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Это дает

v^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{1} + i v_{2} & - (v_{0} + v_{3}) \\ v_{0} - v_{3} & - (v_{1} - i v_{2}) \end{matrix})

$v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ что отличается от того, если бы мы сделали идентификацию

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Тем не менее, мы преобразуем их с помощью одних и тех же матриц, и они дают нам разные коэффициенты преобразования.

v_{ν}

$v_\nu$ .

Мурод Абдухакимов

Я думаю, что лучшая литература по этому вопросу: Laporte, O. and GE Uhlenbeck, Phys. 37, 1380 (1931). Ответ вы найдете в этой статье.

Ответы (1)

Интерпретация спиноров ранга 2

Лучше использовать стандартный формализм, см., например, эту статью , формулы $2.18 \to 2.32$ . Теперь матрица $\epsilon^{bc}$ явно инвертирует проекцию спина $m$ непунктирной (спинорной) части, например, говоря о состояниях, $( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .
Спасибо за ваше предложение чтения, бумага выглядит великолепно. В уравнении 2.32 статьи установлена явная связь между 4-векторами и биспинорами. Что мне неясно, так это то, почему должен быть сделан именно этот выбор и что означает, например, другой выбор. $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ описывать?
Я думаю, что идея, например, в рассмотрении уравнения $2.30$ , состоит в том, что "матрицы" имеют $2$ индексы на одном уровне (вверх или вниз). Теперь вы можете выбрать свои собственные соглашения, пока весь формализм непротиворечив, но лучше следовать стандартным правилам, которые более или менее используются в научных работах.
Это звучит логично, но, насколько я понимаю, матрицы преобразования всегда имеют один индекс вверх и один индекс вниз, и это как-то противоречит соглашению. См., например, строку ниже 2.18.
Да, но эти матрицы имеют пространственно-временные (векторные) индексы, а не спинорные индексы, так что противоречия нет.
Я думаю, что это спинорные индексы, потому что, например, в строке ниже экв. 2.18 на индексах есть точки.
Ах да, $M$ матрица между $2.17$ и $2.18$ . Теперь здесь логика, потому что, глядя на спиноры, на которые действует эта матрица, конечный спинор имеет ту же природу, что и исходный спинор, поэтому обязательно должен быть один верхний индекс и один нижний индекс. Здесь у вас нет выбора.
@JakobH Я не понимаю вашего вопроса. Или, лучше, я думаю, что его можно считать похожим на этот. Если $S^\mu$ имеет физический смысл, отличный от $S_\mu$ .Я так не думаю, потому что пространства этих векторов канонически изоморфны в силу существования метрики. Два рассматриваемых вами пространства спиноров одинаково канонически изоморфны посредством метрического спинора, поэтому они содержат одну и ту же информацию.
Привет, Вальтер. В книгах я нахожу такие предложения, как: Если мы определим объект $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ мы видим, что коэффициенты $v^{\nu}$ преобразование, как у четырех векторов. Но почему мы смотрим на этот конкретный объект? Вместо этого мы могли бы провести идентификацию $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ где коэффициенты $v^{\nu}$ не преобразовывайте, как четыре векторных коэффициента. Почему эта возможность исключена?
Ну если $SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ — стандартная проекция, для первой мы имеем (как мы знаем) с очевидными обозначениями: $(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , для последнего вместо $(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$
Я согласен с этим, но если мы проведем идентификацию $v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ мы можем преобразовать это в $v^{\dot{a}b}$ со спинорной метрикой: $v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Это дает $v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ что отличается от того, если бы мы сделали идентификацию $v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Тем не менее, мы преобразуем их с помощью одних и тех же матриц, и они дают нам разные коэффициенты преобразования. $v_\nu$ .
Я думаю, что лучшая литература по этому вопросу: Laporte, O. and GE Uhlenbeck, Phys. 37, 1380 (1931). Ответ вы найдете в этой статье.

ДжеффДрор · Answer 1

Группа Лоренца — это набор матриц, сохраняющих скалярное произведение четырех векторов,

$v^2 = v_0^2 - v_1^2 - v _2 ^2 - v _3 ^2$

Оба $v ^\mu$ и $v ^{ \alpha \dot{\alpha} } \equiv v ^ {\mu} (\sigma_\mu) ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ преобразования по группе Лоренца. Они просто преобразуются при другом представлении (но все же при том же преобразовании!).

Кроме того, существует однозначное соответствие между каждым вектором $v ^\mu$ и $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ . Так что вы всегда можете выбрать работу в том или ином представительстве.

Обратите внимание, что единственное важное различие между двумя представлениями заключается в том, что для каждой матрицы повышения для $v ^\mu$ , $\Lambda ^{ \mu } _\nu$ , существуют две эквивалентные матрицы повышения для $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ , $N _{\alpha \beta}$ . Оказывается, это устраняет некоторые неудобства, связанные с фундаментальным (четырехвекторным) представлением группы Лоренца.

Например, если у вас есть четырехвектор и вы хотите усилить его в заданном направлении. Вы можете найти матрицу $\Lambda ^\mu_\nu$ и умножить $v ^\mu$ как

$v' ^\mu = \Lambda _\nu ^\mu v ^\nu$

или вы могли бы найти матрицу $N _{\alpha \beta }$ и применим его к спинору ранга 2:

$v' _{\alpha \dot{\alpha}} = N _\alpha ^ \beta v _{\beta \dot{\gamma}} N ^{\ast \, \dot{\gamma}} _{\dot{\alpha}}$

Оба метода эквивалентны.

Спасибо за Ваш ответ. Хотя я согласен со всем, что вы говорите, мне все еще кое-что неясно. Это имеет значение в поведении преобразования $v^{\nu}$ если я выберу $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ или если я выберу $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ как мое первое определение (думаю, это каким-то образом соответствует выбору основы). Я не понимаю, что описывает другой трансформирующий объект.
Обычно мы определяем индексы $\alpha, \dot{\alpha}$ такой, что $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ . Это приводит к особой форме матриц преобразования. Однако, если у вас есть матрица преобразования для $v ^{\alpha \dot{\alpha}}$ вы можете легко рассчитать для $v ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ применив тензор Леви-Чевиты. Другой трансформирующийся объект описывает ускорение или вращение в пространстве.
Я сделал те же определения для индексов, поэтому $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ дает правильные преобразования для коэффициентов $v_{\nu}$ . Они преобразуются как коэффициенты 4-вектора. Тем не менее выбирая $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ кажется мне несколько немотивированным. С теми же определениями для индексов я могу определить другой объект $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ который трансформируется совершенно по-другому. Что описывает этот объект?
Конечно. Вы можете назначить другое соглашение. Но это также изменит соглашение о ваших матрицах преобразования. Итак, в конце концов, если вы вернетесь к четырехвекторной форме, вы все равно получите тот же преобразованный вектор $v_ \mu '$ . Положение индексов не является священным. Все, что важно, это то, что вы последовательны.
Я не имею в виду другую конвенцию. Я имею в виду пребывание на одном съезде и после просмотра $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ я смотрю как $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ трансформируется. Коэффициенты $v' _\mu$ не преобразуются, как индексы четырех векторов. Определения, которые мы делаем, насколько я понимаю, относятся к спинорным индексам, то есть к положению правовращающих и левовращающих спинорных индексов. Другими словами: что привязывает меня к первому выбору?

Интерпретация спиноров ранга 2

Джек

Тримок

Джек

Тримок

Джек

Тримок

Джек

Тримок

Вальтер Моретти

Джек

Вальтер Моретти

Джек

Мурод Абдухакимов

Ответы (1)

ДжеффДрор

Джек

ДжеффДрор

Джек

ДжеффДрор

Джек

Как отличить спинор от 4-вектора?

Природа полей в КТП

Спиновые представления группы Лоренца

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Преобразования четности и спинор Дирака

Разложение тензора кручения

Концептуальная интерпретация левых и правых спинорных представлений группы Лоренца