Концептуальная интерпретация левых и правых спинорных представлений группы Лоренца

Для массивных спиноров «правая» и «левая» хиральность связана не столько с истинными вращениями, сколько с представлением преобразований Лоренца как «вращений пространства-времени». В этом случае очень популярный краткий ответ на концептуальный вопрос состоит в том, что преобразования Лоренца «вращаются».$(1/2, 0)$- вращается в одну сторону в пространстве-времени, и$(0, 1/2)$-спиноры наоборот, а пространственная инверсия, соответствующая преобразованию четности, «переворачивает» один тип спинора в другой.

Но правильное понимание спинорной хиральности и ее связи с четностью тесно связано с другой парой очень знакомых понятий, контравариантностью и ковариантностью 4-векторов. Напомним, что в пространстве-времени Минковского ковариантный вектор$v_\mu$является обращенным в пространстве своего контравариантного аналога$v^\mu$, поэтому преобразование четности и есть сама метрика. Более запутанная проблема заключается в том, что, независимо от этой связи, каждое неравенство индуцирует свой собственный отдельный набор контравариантных и ковариантных спиноров, причем эти две конструкции связаны комплексным сопряжением, которое в квантовой обстановке усугубляет обычную роль комплексного сопряжения в определении бра- кет двойственность.

Теперь некоторые подробности:

Почему прозвища «правша» и «левша» :

Скажем, заданное пространственно-временное преобразование Лоренца для поворота на угол$\theta$вокруг оси$\vec{n}_\theta$,$\vec{\theta} = \theta\vec{n}_\theta$, и увеличение скорости$\zeta$в направлении$\vec{n}_\zeta$,$\vec{\zeta} = \zeta\vec{n}_\zeta$, читает

$$L = e^{\vec{\theta}\cdot\vec{J} + \vec{\zeta}\cdot \vec{K}}$$ где $\vec{J}$, $\vec{K}$являются обычными генераторами вращения и ускорения в пространстве-времени Минковского. Тогда его эквиваленты на спинорных представителях (1/2,0) и (0,1/2) равны $$\Lambda_{(1/2,0)} = e^{\vec{w}\cdot\vec{\sigma}/2} \equiv e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2}, \;\;\;\;\;\Lambda_{(0,1/2)} = \left(\Lambda_{(1/2,0)}^{-1}\right)^\dagger = e^{-\vec{w}^*\cdot\vec{\sigma}/2} \equiv e^{(-i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2},\;\;\;\;\;\vec{w} = -i\vec{\theta} + \vec{\zeta}$$ с генераторами $\vec{J} \rightarrow i\vec{\sigma}/2$, $\vec{K} \rightarrow -\vec{\sigma}/2$на $(1/2,0)$, и $\vec{J} \rightarrow -i\vec{\sigma}^*/2$, $\vec{K} \rightarrow -\vec{\sigma}^*/2$на $(0, 1/2)$.

Теперь посмотрите на знак быстроты двух преобразований. С точностью до наоборот: если за одно повторение трансформация дается бустом$\vec{\zeta}$, в другом повторении это дается обратным усилением$-\vec{\zeta}$. Так что, хотя оба$\Lambda_{(1/2,0)}$и$\Lambda_{(0,1/2)}$соответствуют одному и тому же пространственно-временному преобразованию$L$, изменение знака параметра бустинга делает так, что они "как бы" генерируют противоположные формальные "повороты": "правосторонний" и "левый".

Хиральность и четность : С другой стороны, переключение с повышения$\vec{\zeta}$к обратному$-\vec{\zeta}$это просто обычное отношение между контравариантными и ковариантными преобразованиями. Действительно, для

$$v'^\mu = L^\mu_{\;\;\nu} v^\nu\;\; \leftrightarrow \;\;v'_\mu = v_\nu(L^{-1})^\nu_{\;\;\mu} = [(L^{-1})^T]_\mu^{\;\;\nu} v_\nu$$ экспоненциальные формы $$L = e^{\vec{\theta}\cdot\vec{J} + \vec{\zeta}\cdot\vec{K}} \;\; \leftrightarrow \;\; (L^{-1})^T = e^{\vec{\theta}\cdot\vec{J} - \vec{\zeta}\cdot\vec{K}}$$ показать, что если контравариантный 4-вектор преобразуется при вращении $\vec{\theta}$и повышение $\vec{\zeta}$, то преобразованный по четности ковариантный 4-вектор преобразуется при том же вращении $\vec{\theta}$и обратное усиление $-\vec{\zeta}$. Аналогично, из спинорных преобразований $$\Lambda_{(1/2,0)} = e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2}, \;\;\;\;\;\Lambda_{(0,1/2)} = \left(\Lambda_{(1/2,0)}^{-1}\right)^\dagger = e^{(-i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2}$$ мы видим, что совершенно аналогичным образом, если $(1/2,0)$спинор трансформируется при вращении $\vec{\theta}$и повышение $\vec{\zeta}$, то его $(0, 1/2)$аналог трансформируется при том же вращении $\vec{\theta}$и обратное усиление $-\vec{\zeta}$. Отсюда $(1/2,0)$(правосторонний) спинор иногда называют контраспинором , а $(0,1/2)$(левша), тогда один из них является коспинором (см., например, введение Эндрю Стина в спиноры ; еще одним хорошим введением является глава 11 Шультена в его книге QM ).

Контравариантное ковариантное спинорное преобразование включает комплексное сопряжение и дается выражением

$${\hat \chi}\;\;\rightarrow \;\;{\hat \eta} = i\sigma_2 {\hat \chi}^* \equiv \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right) {\hat \chi}^*$$ Это так, потому что если ${\hat\chi} \rightarrow \Lambda_{(1/2,0)} {\hat\chi}$при преобразовании Лоренца, то $\hat \eta$трансформируется как $${\hat \eta} = i\sigma_2 {\hat \chi}^* \;\;\rightarrow \;\; i\sigma_2 \left(\Lambda_{(1/2,0)} {\hat\chi}\right)^* = i\sigma_2 \Lambda_{(1/2,0)}^* (i\sigma_2)^\dagger (i\sigma_2){\hat\chi}^* = \left(\Lambda_{(1/2,0)}^{-1}\right)^\dagger {\hat \eta} \equiv \Lambda_{(0,1/2)} {\hat \eta}$$ где последнее равенство основано на $(i\sigma_2)^\dagger (i\sigma_2) = I$и преобразование спиновых матриц $\sigma_j$под $i\sigma_2$. Если мы дополнительно определим $\sigma_0 = I$, то для последнего имеем $$(i\sigma_2) \sigma^*_0(i\sigma_2)^\dagger = \sigma_0$$ $$(i\sigma_2)\sigma^*_j (i\sigma_2)^\dagger = - \sigma_j, \;\;\;j=1,2,3$$ что подтверждает, что $i\sigma_2$на самом деле является преобразованием четности, как и ожидалось от преобразования $\Lambda$-с, $$i\sigma_2 \Lambda_{(1/2,0)}^* (i\sigma_2)^\dagger = \left(\Lambda_{(1/2,0)}^{-1}\right)^\dagger = \Lambda_{(0,1/2)} \;\;\; \leftrightarrow \;\;\;i\sigma_2 \left[e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2}\right]^* (i\sigma_2)^\dagger = e^{(-i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2}$$ То есть, $i\sigma_2$оставляет вращение на месте, но меняет направление ускорения - и это точно определение пространственной инверсии . Которое значит что $i\sigma_2$реализует не просто замену представителя, а преобразование четности, как и метрика в пространстве Минковского (ср. $\Lambda$отношение выше с соотношением преобразования Лоренца $gLg = (L^{-1})^T \Leftrightarrow gLg^T = (L^{-1})^T$). Или, переворачивая утверждение с ног на голову, применяя преобразование четности, изменяет спинорное представление, а значит, и его хиральность . С этой точки зрения правосторонняя и левосторонняя терминология также может пониматься как обозначение свойств спинорного преобразования в правосторонней и левосторонней трехмерной системе отсчета.

Но если это так, то почему для обычных 4-векторов нет 2 хиральных иррепов? Просто потому, что 4-векторы реальны, и в этом случае контравариантное ковариантное отображение является линейным преобразованием подобия. Тогда по лемме Шура повторения эквивалентны. Несмотря на кажущийся изоморфизм с контравариантным и ковариантным представлениями соответственно,$(1/2, 0)$и$(0, 1/2)$повторения связаны антилинейным, а не линейным преобразованием и формально не удовлетворяют лемме Шура.

Примечание добавлено в доказательство: еще один простой способ показать связь между хиральностью и контравариантностью/ковариантностью, не вдаваясь в полномасштабный формализм.

Позволять$\hat \chi$— любой нормализованный спинор. Его всегда можно параметризовать как

$${\hat \chi} = \left(\begin{array}{c}\chi^0 \\ \chi^1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\chi^0 \\ u/(2\chi^{0*})\end{array}\right), \;\;\; {\hat \chi}^\dagger {\hat \chi} = 1$$ с $\chi^0, \chi^1\in {\mathbb C}$, $u \equiv 2\chi^{0*}\chi^1 = u^1 + iu^2$, $|u|^2 = 4 |\chi^0|^2(1 - |\chi^0|^2)$(от $|\chi^0|^2 + |\chi^1|^2 = 1$). Верхние контравариантные индексы предсказывают, но в остальном произвольны на данный момент.

Первое ключевое наблюдение заключается в том, что проектор спина, связанный с$\hat \chi$читает

$${\hat \chi}{\hat \chi}^\dagger = \left(\begin{array}{c}\chi^0 \\ u/(2\chi^{0*})\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\chi^{0*} & u^*/(2\chi^0)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} |\chi^0|^2 & u^*/2 \\ u/2 &1 - |\chi^0|^2) \end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 + \left[\;2|\chi^0|^2-1\;\right] & u^* \\ u &1 - \left[\;2|\chi^0|^2 -1\;\right] \end{array}\right) =$$ $$= \frac{1}{2} \left[ I + u^1 \sigma_1 + u^2 \sigma_2 + (2|\chi_0|^2 -1)\sigma_3\right] \equiv \frac{1}{2} \left[ u^0 \sigma_0 + u^1 \sigma_1 + u^2 \sigma_2 + u^3\sigma_3\right]$$ где $\sigma_\mu$матрицы Паули, как обычно (нижний индекс особого значения не имеет), $u^0 = 1$, и $u^3 = 2|\chi_0|^2 -1$, а также $$u^\mu = Tr\left(\sigma_\mu {\hat \chi}{\hat \chi}^\dagger\right) = \chi^\dagger \sigma_\mu \chi$$ Второе наблюдение заключается в том, что у нас всегда есть $$(u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2 = |u|^2 + (2|\chi^0|^2 -1 )^2 = 1$$ следовательно $$\det \left({\hat \chi}{\hat \chi}^\dagger \right) = (u^0)^2 - (u^1)^2 - (u^2)^2 - (u^3)^2 = 0$$ Последнее тождество, очевидно, предполагает, что $u^\mu = \chi^\dagger \sigma_\mu \chi$может вести себя как нулевой 4-вектор. И действительно, независимо от конкретного представителя, при преобразовании Лоренца $\Lambda$, $|\det(\Lambda)| = 1$, $\hat \chi$и его проектор преобразуется как $$\hat \chi' = \Lambda \hat \chi, \;\;\;{\hat \chi'}({\hat \chi'})^\dagger = \Lambda {\hat \chi}{\hat \chi}^\dagger \Lambda^\dagger$$ По тем же рассуждениям, что и выше, преобразованный проектор снова должен иметь вид $${\hat \chi'}({\hat \chi'})^\dagger = \frac{1}{2} \left[ u'^0 I + u'^1 \sigma_1 + u'^2 \sigma_2 + u'^3\sigma_3\right]$$ $$u'^\mu = Tr\left[\sigma_\mu {\hat \chi'}({\hat \chi'})^\dagger\right] = (\chi')^\dagger \sigma_\mu \chi'$$ следовательно $$\det \left[{\hat \chi'}({\hat \chi'})^\dagger \right] = (u'^0)^2 - (u'^1)^2 - (u'^2)^2 - (u'^3)^2 = 0$$ Другими словами, $(u^0)^2 - (u^1)^2 - (u^2)^2 - (u^3)^2 = 0$является инвариантом Лоренца, и $u^\mu$обязательно является нулевым 4-вектором. Но пока не ясно, является ли он контравариантным или ковариантным. Однако из $${\hat \chi'}({\hat \chi'})^\dagger = \Lambda {\hat \chi}{\hat \chi}^\dagger \Lambda^\dagger = \frac{1}{2} \left[ u^0 \Lambda \sigma_0 \Lambda^\dagger + u^1 \Lambda \sigma_1 \Lambda^\dagger + u^2 \Lambda \sigma_2 \Lambda^\dagger + u^3 \Lambda \sigma_3 \Lambda^\dagger \right] \equiv \frac{1}{2} \left[ u'^0 I + u'^1 \sigma_1 + u'^2 \sigma_2 + u'^3\sigma_3\right]$$ следует, что закон преобразования для $u^\mu$должно быть $$u'^\mu = \frac{1}{2}\sum_\nu{\left[\text{Tr}\left( \sigma_\mu \Lambda \sigma_\nu \Lambda^\dagger \right) \right] u^\nu}$$ Для конкретных форм $\Lambda_{(1/2,0)}$и $\Lambda_{(0,1/2)}$это читает $$(1/2, 0):\;\;\;\;\;u'^\mu = \sum_\nu{\left[\text{Tr}\left( \sigma_\mu e^{(-i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \sigma_\nu e^{(i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \right) \right] u^\nu} =$$ $$(0, 1/2):\;\;\;\;\;u'^\mu = \sum_\nu{\left[\text{Tr}\left( \sigma_\mu e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \sigma_\nu e^{(i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \right) \right] u^\nu}$$ Поскольку $u^\mu$являются 4-векторами, два приведенных выше преобразования должны быть преобразованиями Лоренца. Но заметьте, что если для $(1/2, 0)$(без особого размещения индексов) $$L_{\mu\nu}(\vec{\theta},\vec{\zeta}) = \text{Tr}\left( \sigma_\mu e^{(-i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \sigma_\nu e^{(i\vec{\theta} - \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \right)$$ тогда для $(0, 1/2)$ $${\bar L}_{\mu\nu}(\vec{\theta},\vec{\zeta}) = \text{Tr}\left( \sigma_\mu e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \sigma_\nu e^{(i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \right) = \text{Tr}\left( \sigma_\nu e^{(i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \sigma_\mu e^{(-i\vec{\theta} + \vec{\zeta})\cdot\vec{\sigma}/2} \right) = L_{\nu\mu}(-\vec{\theta},-\vec{\zeta}) = \left( \left[ L(\vec{\theta},\vec{\zeta})\right]^{-1}\right)^T_{\mu\nu}$$ Так что у нас всегда
$$(1/2, 0):\;\;\;\;\;u'^\mu = \sum_\nu{L_{\mu\nu}(\vec{\theta},\vec{\zeta}) u^\nu}$$ $$(0, 1/2):\;\;\;\;\;u'^\mu = \sum_\nu{ \left( \left[ L(\vec{\theta},\vec{\zeta})\right]^{-1}\right)^T_{\mu\nu} u^\nu}$$ Сравните это с 4-векторными контравариантными и ковариантными преобразованиями, и отсюда следует, что либо в $(1/2,0)$в $u^\mu$являются контравариантными, а аналоги в $(0, 1/2)$ковариантны, или наоборот. То же самое относится и к любым другим спинориальным билинейным. Иными словами, мы снова видим, что $(1/2, 0)$и $(0, 1/2)$повторения двойственны друг другу. На самом деле для $(1/2,0)$Оказывается, что $(1/2) \text{Tr}\left( \sigma_\mu \Lambda \sigma_\nu \Lambda^\dagger \right) = L^\mu_{\;\;\nu}$и т. д., и соответствующий спиновый 4-вектор действительно контравариантен.

Последнее замечание о природе спиноров, преобразованных по четности:

Преобразование четности$i\sigma_2$, обычно называемая (антисимметричной) спинорной метрикой$\epsilon \equiv i\sigma_2$, занимает$(1/2, 0)$спинор${\hat \chi}$в свой$(0, 1/2)$эквивалент${\hat \eta} = i\sigma_2 {\hat \chi}^*$. В явном виде это составляет

$${\hat \chi} = \left(\begin{array}{c}\chi^0 \\ u/(2\chi^{0*})\end{array}\right) \rightarrow {\hat \eta} = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\chi^{0*} \\ u^*/(2\chi^{0})\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}u^*/(2\chi^{0}) \\ -\chi^{0*}\end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{c}{\hat {\bar \chi}}_0\\ -u/2({\hat{\bar\chi}}_0)\end{array}\right)$$ где ${\hat {\bar \chi}}_0 = u^*/(2{\hat\chi}^0)$. В конце концов это показывает, что киральный дуальный ${\hat \eta}$действительно соответствует (инвертированному пространству) ковариантному спиновому 4-вектору $u_\mu = g_{\mu\nu}u^\nu$. Но не менее важно, ${\hat \eta}$оказывается (перевернутое пространство) ортогональным оригиналу ${\hat \chi}$: $${\hat \chi}^\dagger {\hat \eta} = {\hat \chi}^\dagger \epsilon {\hat\chi}^* = \left( {\hat \chi}^T \epsilon {\hat \chi} \right)^* = {\hat \chi}^\dagger \left(\begin{array}{cc}\chi^{0*} & u^*/(2\chi^0)\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}u^*/(2\chi^{0}) \\ -\chi^{0*}\end{array}\right) = 0$$ Суть в том, что хирально двойственные спиноры являются спин-ортогональными, пространственно инвертированными друг относительно друга.

Я отвечаю на этот вопрос очень поздно, потому что заметил, что многие вопросы о хиральности/спиральности на этом сайте имеют довольно плохие ответы (хотя другой ответ на этот вопрос отличный!), так что это поможет прояснить ситуацию.

Как и большинство вопросов, связанных с хиральностью и спиральностью, проблема решается, если помнить, что хиральность — это свойство полей, а спиральность — свойство частиц, а поля — это инструменты для создания и уничтожения частиц.

Например, как подробно изложено здесь , правокиральное поле Вейля — это поле, которое аннигилирует определенные безмассовые частицы с левой спиральностью и создает определенные безмассовые частицы с правой спиральностью, которые имеют противоположные заряды. То же самое относится и к левокиральным полям Вейля с переставленными местами слева и справа.

Как мне представить себе разницу между левосторонним и правосторонним спинорным полем?

С точки зрения классических полей правое поле — это поле, имеющее плоские волновые решения, в которых собственные значения при вращении вокруг оси и переносе вдоль оси имеют один и тот же знак, а левое поле — противоположное.

Но эта картина не слишком полезна в квантовой теории поля. На этом уровне поля являются инструментом учета рождения и уничтожения частиц. Левое и правое спинорное поле Вейля соответствуют точно такому же содержанию частиц, так что физической разницы нет. Например, левостороннее поле Вейля с положительным зарядом связано с теми же частицами, что и правостороннее поле Вейля с отрицательным зарядом; один создает то, что другой уничтожает.

Вопрос «Объяснение хиральности для частицы со спином 1/2» помогает отличить спиральность от хиральности, но в идеале я бы хотел, чтобы объяснение хиральности вообще не касалось спиральности.

Поля преобразуются в представлениях группы Лоренца. Если распространить это на полную группу Лоренца, включающую четность, представления будут киральными, если они не отображаются на себя при четности.

Например, концептуально , почему оператор четности обращает киральность частицы?

Это не так, потому что хиральность — это свойство полей, а не частиц. На уровне полей четность переворачивает хиральность по определению, если вы используете определение, которое я дал выше.

Если бы кому-то дали частицу без указания ее хиральности, как бы ее можно было проверить? Например, если бы я рассмотрел одно поле Вейля с лагранжианом, заданным уравнением Средненицкого. (36.2),

$$\mathcal{L} = i \psi^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi - \frac{1}{2} m \left( \psi \psi + \psi^\dagger \psi^\dagger \right),$$ как я мог экспериментально определить его хиральность?

Опять же, это бессмысленный вопрос, потому что киральность — это свойство полей, которые используются для организации теории частиц. Например, предположим, что вы обнаружили определенные частицы с правой спиралью и частицы с левой спиралью с противоположными зарядами, все из которых не имеют массы. Вы можете описать их, используя лагранжиан, содержащий левокиральное поле Вейля, или лагранжиан, содержащий правокиральное поле Вейля, или даже лагранжиан, содержащий поле Дирака, подчиняющееся ограничению.

Это все равно, что сказать, если вы обнаружите фотон, можете ли вы сказать, является ли связанное с ним поле$A_\mu$или$F_{\mu\nu}$или что-то другое. Вопрос не имеет особого смысла. Одно или оба этих поля могут появиться в процессе описания одних и тех же физических наблюдений за частицей.