Любопытная связь между зависимостью планковских единиц в ℏ от размеров единиц.

Обратите внимание, что вы измеряете в пяти единицах, соответствующих$L,T,M,Q,Θ$.

Выберите одну единицу, скажем, время$T$. Тогда сначала

$[c]=L T^{−1},$

переводит длину во время, тогда

$[G]=M^{−1} L^3 T^{−2}=TM^{-1},$

переводит массу во время, то

$[1/ε_0]=Q^{−2}L^3 M T^{−2}=(TQ^{-1})^2 ,$

переводит заряд во время, тогда

$[k_B]=Θ^{−1}L^2 M T^{−2}=TΘ^{−1}$

переводит температуру во время, а затем

$[\hbar]=L^2 M T^{−1}=T^2$

является единственным с ненулевым показателем. Дело в том, что вы не используете "$L^2 M$"от постоянной мощности как единицы, так что это количество, которое остается.

После процесса исключения единицы кратны

$[\sqrt{\hbar}]=T.$

Поскольку вам не нравится размерный анализ, я попробую несколько иной (но в конечном счете эквивалентный) подход, пытаясь связать единицы Планка с физическими величинами.

Масса Планка — это масса самой маленькой из возможных черных дыр. Это также энергия, потому что$c=1$. Планковская длина — это размер такой черной дыры, а планковское время — это время прохождения света через планковскую длину. Поскольку размер черной дыры пропорционален ее массе, все три величины пропорциональны друг другу. Кроме того, константы пропорциональности не могут включать$\hbar$так как отношения между ними по существу классические (размер черных дыр, скорость света). Таким образом, эти трое масштабируются одинаково с точки зрения$\hbar$.

Теперь температура — это энергия, а единственная энергия вокруг — это планковская масса, так что у вас снова есть связь. Вы можете думать об этом как о температуре, при которой планковские черные дыры термически производятся в изобилии, так что это своего рода максимальная температура, которую может иметь разумная система.

Между прочим, температура Хокинга черной дыры пропорциональна$\hbar$поскольку это квантово-механический эффект, но он также обратно пропорционален массе, а поскольку масса Планка$\sim\sqrt\hbar$, чистый масштаб температуры планковской черной дыры равен$\sim\sqrt\hbar$то же, что планковская масса. Если планковская температура определена таким образом, вы можете найти это менее чем удовлетворительным, поскольку ранее я не установил масштабирование планковской массы, а только то, что оно масштабируется так же, как и другие величины.

Остается планковский заряд. Это максимальный заряд, допустимый для заряженной планковской черной дыры ( экстремальной черной дыры). Заряд экстремальной черной дыры пропорционален ее массе (у меня нет интуиции, почему), поэтому он снова масштабируется таким же образом. Вы можете видеть этот результат из метрики заряженной черной дыры, но я не знаю интуитивной причины. Возможно, кто-то еще мог бы просветить нас обоих по этому вопросу.

Большое предостережение : ничто из этого не принимает во внимание явления квантовой гравитации, которые, безусловно, доминируют в этом масштабе. Это огромная куча маханий руками, но помимо размерного анализа это то, что я могу вам дать.