Планковское время, расстояние, масса? Почему мы принимаем эти значения?

Отличный вопрос! Насколько мне известно, нет ничего лучше строгого обоснования того, что эффекты квантовой гравитации должны проявляться при планковской массе/длине/времени. Но есть интуитивное обоснование, которое звучит примерно так:

Как вы, возможно, знаете, в специальной теории относительности многие величины могут быть выражены в виде степенного ряда в$\frac{v^2}{c^2}$.

Когда вы работаете с физической ситуацией, когда$\frac{v}{c} \ll 1$, в этом выражении можно пренебречь членами более высокого порядка. Это значит, что$c$в некотором смысле является характеристической скоростью, при которой релятивистские эффекты (члены более высокого порядка) имеют существенное значение. Конечно, это не означает, что вы можете полностью игнорировать теорию относительности на скоростях меньше$c$, но хорошее эмпирическое правило состоит в том, что релятивистские поправки несущественны при скоростях меньше примерно$c/10$, что всего на один порядок меньше. По нашему повседневному опыту, скорость на восемь порядков меньше скорости света, и один десятикратный коэффициент на самом деле не имеет большого значения.

То же самое происходит и в квантовой механике, хотя и не так четко. По сути, квантовые эффекты включают в себя такие вещи, как интерференция и дифракция волновых функций, которые становятся значительными, когда длина волны сравнима с размерами задействованных объектов. (Это результат классической волновой механики; я не буду здесь вдаваться в подробности.) Таким образом, вы можете думать о величине как$\frac{\lambda}{r} = \frac{h}{rp}$играть роль, похожую на ту,$\frac{v^2}{c^2}$делает в СТО: он дает вам оценку порядка величины масштаба, в котором квантовые эффекты вступают в игру. Однако это очень грубая оценка, потому что квантовые поправки принимают самые разные формы — представьте, что квантовая механика дает степенной ряд в «$\frac{h}{\text{stuff}}$," не обязательно$\frac{h}{rp}$точно. На практике часто оказывается, что$\frac{h}{rmc}$лучший параметр для использования;$\frac{h}{mc}$называется комптоновской длиной волны .

Наконец, то же самое можно сказать и об общей теории относительности, особенно о той ее части, которая имеет дело с сильными гравитационными полями. В этом случае соответствующий параметр$\frac{2Gm}{rc^2}$, который появляется в различных точных решениях уравнений поля Эйнштейна. Это означает, что радиус Шварцшильда $\frac{2Gm}{c^2}$- характерный радиус, при котором общие релятивистские эффекты становятся существенными.

Теперь квантовая теория гравитации должна объединить все эти вещи. Таким образом, общая величина может быть вычислена в квантовой гравитации как степенной ряд с несколькими переменными, например:

где$X_{0,0,0}$- это классическое низкоскоростное приблизительное значение, а нижние индексы указывают, сколько степеней различных поправочных коэффициентов задействовано. Любой термин, который имеет нули для определенных комбинаций индексов, мы уже можем вычислить, используя существующие теории. Например, вычисление некоторой величины с помощью специальной теории относительности дает нам степенной ряд

который заботится обо всем$(n,0,0)$условия. Точно так же квантовая механика заботится обо всех$(0,n,0)$условия, а GR все$(0,0,n)$термины - на самом деле, поскольку ОТО включает в себя специальную теорию относительности, вы также можете получить$(m,0,n)$термины из него. Термы с индексами вида$(m,n,0)$происходят из комбинации специальной теории относительности и квантовой механики, а именно квантовой теории поля.

Так что осталось? Остальными терминами, которые не охватываются существующими теориями, можно пренебречь, если только у нас не будет системы, которая:

• очень плотный,$r \sim \frac{2Gm}{c^2}$
• и очень маленький,$r \sim \frac{h}{mc}$

Приравнивая эти условия, получаем$\frac{2Gm}{c^2} \sim \frac{h}{mc}$, или

(я опустил множитель$\sqrt{\pi}$потому что мы просто работаем на порядки), и снова подключаемся к любому из условий,

Итак, виды систем, в которых$(0,m,n)$термины в этом «главном степенном ряду» становятся актуальными именно для тех, у которых масса порядка планковской массы, а размер порядка планковской длины. Для расчета поведения этих систем нам понадобится теория, позволяющая вычислить эти$(0,m,n)$термины, а по сути все термины с произвольными индексами — иными словами, квантовая теория гравитации.

Потому что смысл этих констант дает вам, что планковская длина и планковское время являются пределами пространства, в то время как планковская масса является нижним пределом для черной дыры (все, что легче, будет называться фундаментальной частицей).

Вы должны понимать константы следующим образом: c преобразует секунды в метры, показывая, что время и пространство одинаковы. Вы должны установить его равным единице, это наименее интересная константа из трех.

В единицах, где c=1, G имеет единицы длины/массы, поэтому единица массы преобразуется в единицу длины. Длина, связанная с массой, представляет собой радиус черной дыры данной массы с точностью до небольшого коэффициента.

hbar сообщает вам неопределенность энергии/импульса, времени/положения, так что радиус, на котором длина комптоновской волны черной дыры сравнима с ее размером, является планковской длиной.

Это наименьшее расстояние, которое вы можете исследовать, поскольку для измерения планковской длины требуется частица с планковской энергией, и она создаст черную дыру размером с планковскую длину. Таким образом, в отличие от ускорителей, где более высокие энергии исследуют более короткие расстояния, при более высоких масштабах энергии, чем масса Планка, вы не исследуете более короткие расстояния, а в конечном итоге создаете большие черные дыры.

Это означает, что с точностью до малых множителей планковская длина и планковское время являются кратчайшими расстояниями, которые вы можете измерить. Применение логического позитивизма позволяет сделать вывод, что более короткие расстояния, вероятно, не имеют смысла в квантовой гравитации. Планковская масса – это граница между элементарной частицей и черной дырой. Это размерный анализ, так что вы доверяете ему только до безразмерного фактора.

Интересно то, что универсальная постоянная гравитации не является даже фиксированной константой, ( почему нет точности измеряемой величины$G$? )