Как получить эффективные квантовые числа линейной комбинации HH\rm волновых функций H-атома?

Соглашение об интерпретации атома водорода в соответствии с законами квантовой механики состоит в том, что вы можете доказать квантование | л | , л г , и Энергия через квантовые числа ℓ , м ℓ , и н соответственно. Вы можете проверить волновую функцию с некоторыми параметрами как ( н , ℓ , м ℓ ) на основе соответствующих сферических гармоник (на основе ℓ и м ℓ ) и радиальные решения (на основе н и ℓ ). Вы можете получить | л | , л г , и Энергия следующим образом:

л г "=" м ℓ ℏ
| л | "=" ℓ ( ℓ + 1 ) ℏ
Е "=" − 13,6 е В н 2

Если вы добавляете разные волновые функции, скажем, с формой

А 0 ( А 1 Ψ н 1 , ℓ 1 , м ℓ , 1 + А 2 Ψ н 2 , ℓ 2 , м ℓ , 2 + А 3 Ψ н 3 , ℓ 3 , м ℓ , 3 + . . . ) ,
Я знаю, что это должно быть решением уравнения, поскольку это просто линейная комбинация различных решений атома водорода. Как мне найти «эффективные квантовые числа», которые есть у этой линейной комбинации? Существует ли такая вещь?

Ответы (2)

Нет, если предположить, что человек Ψ н л м члены не зависят от времени, то линейная комбинация вида

А 0 ( А 1 Ψ н 1 , л 1 , м л , 1 + А 2 Ψ н 2 , л 2 , м л , 2 + А 3 Ψ н 3 , л 3 , м л , 3 + . . . )
не является решением уравнения Шредингера.

Поскольку термины с разными н имеют разную энергию Е н , необходимо учитывать зависящие от времени фазовые факторы е − я Е н т / ℏ .

Так, например, линейная комбинация

А 0 ( А 1 Ψ н 1 , л 1 , м л , 1   е − я Е н 1 т / ℏ + А 2 Ψ н 2 , л 2 , м л , 2   е − я Е н 2 т / ℏ + А 3 Ψ н 3 , л 3 , м л , 3   е − я Е н 3 т / ℏ + . . . )
будет решением зависящего от времени уравнения Шредингера
я ℏ г г т Ψ "=" ЧАС Ψ .

Квантовые числа н , л , м обозначьте различные возможные собственные энергетические состояния. Более того, н метки относятся к радиальной волновой функции, л обозначает величину орбитального углового момента, где м маркирует один из его компонентов.

В общей суперпозиции состояние может больше не быть собственным состоянием гамильтониана, оператора углового момента (и одного его проекционного оператора). Таким образом, нет н , л , м . Можно еще рассчитать математические ожидания этих операторов и получить «эффективное» н , л , м как и при любом распределении вероятностей.

Извините, если я кажусь неопытным (это наша текущая тема в классе), но как можно вычислить ожидаемые значения этих квантовых чисел? Насколько я знаю, чтобы сказать <n>, вы должны вычислить его с помощью ∫ − ∞ + ∞ Ψ * н Ψ но я не знаю, эквивалентно ли n какому-то оператору и имеет ли смысл то, что я написал. Еще раз извиняюсь за свою неопытность.
@IanAngeloAragoza, когда учишься, не нужно извиняться! И да. В общем, это расчет ожидаемой стоимости. Сейчас скажи ψ ( р ) идет как е я р / н (это в случае с водородом), то мы можем дифференцировать его по я р получить 1 / н из него и вычислить интеграл. Это дает нам ожидание, что мы можем инвертировать, чтобы получить <n>. Однако вы знаете, что для водорода энергия идет как 1 / н 2 поэтому вы можете расширить это определение и оценить ожидаемую энергию, чтобы получить <n> из этого.
Однако в приведенном вами примере суперпозиции оценка этих ожиданий более проста. Потому что вы уже выразили их в ортонормированном базисе. Итак, <n> "=" ∑ я А я 2 н я Насколько полезны эти определения, зависит от контекста.
Простое одиночное дифференцирование вряд ли даст хорошие результаты. Не забывайте о таких факторах, как полиномы Лагерра для н > 1 и р ℓ для ℓ > 0 . Лучшим способом было бы расширить собственный базис и просто получить это ⟨ н ⟩ "=" | А 0 | 2 ( | А 1 | 2 н 1 + | А 2 | 2 н 2 + | А 3 | 2 н 3 + ⋯ ) .
Как получить эффективные квантовые числа линейной комбинации HH\rm волновых функций H-атома?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v