Может ли квазиклассический электронный волновой пакет на эллиптической орбите образоваться из связанных водородоподобных собственных состояний?

_{Предупреждение : впереди длинный пост. Чтобы просто посмотреть анимацию, прокрутите вниз ;)}

---

Требования к волновому пакету

Сначала сделаем некоторые оценки, используя точное аналитическое выражение для эволюции гауссового волнового пакета в свободном пространстве. Надеюсь, это не будет слишком неправильно в случае, когда кулоновский потенциал включен. Выражение выглядит так:

$$\operatorname{gaussian}(x,t)=\sqrt{\frac{\sigma_0}{\sqrt{2\pi}}\bigg/\left(\sigma_0^2+\frac{i\hbar t}{2m}\right)} \exp\left(-\sigma_0^2\left(\frac p\hbar\right)^2\right) \exp\left(-\frac{\left(x-2i\sigma_0^2\frac p\hbar\right)^2}{4\left(\sigma_0^2+\frac{i\hbar t}{2m}\right)}\right). \tag1$$

Отсюда мы можем найти ожидаемое значение$x$меняется во времени как

$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\operatorname{gaussian}(x,t)\right|^2 x\,\mathrm{d}t=\frac{pt}m, \tag2$$

в то время как стандартное отклонение$\sigma$положение развивается по мере

$$\sigma(t)=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=\sqrt{\sigma_0^2+\frac{t^2\hbar^2}{4m^2\sigma_0^2}}. \tag3$$

Потребуем, чтобы после двух орбитальных периодов$\sigma$становится не более чем в 2 раза больше, чем первоначально, т.е.

$$\sigma(2T)\le2\sigma_0. \tag4$$

Если рассматривать движение классической частицы в кулоновском поле

$$V(r)=-\frac\alpha r, \tag5$$

куда$\alpha=\frac{-Qq}{4\pi\varepsilon_0}$и$Qq$является произведением зарядов притягивающего центра и движущейся частицы, тогда период обращения равен$^\dagger$

$$T=2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac m\alpha}, \tag6$$

куда$a$является большой полуосью эллиптической орбиты.

Таким образом, решая неравенство$(4)$, мы получили:

$$\sigma_0\ge\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\sqrt{3\alpha m}}}a^{3/4}. \tag7$$

Таким образом, мы имеем нижнюю границу$\sigma_0$чтобы ограничить скорость распространения нашего волнового пакета. Но мы также хотим, чтобы волновой пакет был достаточно локализован, чтобы его было легко визуально отделить от ядра. Мы потребуем этого

$$\sigma_0\le a/20, \tag8$$

а потом, взяв$\sigma_0$быть максимально низким в соответствии с$(7)$, у нас есть нижняя граница$a$:

$$a\ge\frac{(800\pi\hbar)^2}{3\alpha m}. \tag9$$

Явный пример рабочих параметров

Хорошо, теперь давайте будем числовыми. На основе вышеприведенной оценки выберем некоторые параметры орбиты электрона и "экспериментально" проверим, дают ли оценки что-либо хорошее.

В общем случае для водородоподобной системы имеем$Qq=-Ze^2$, где$Z$является атомным номером ядра. Вставка цифр в$(9)$, Мы видим, что

$$a>Z^{-1}\times 111.4\,\mathrm{\mu m}. \tag{10}$$

Чтобы сделать вычисления более практичными, мы хотим, возможно, меньшее значение$a$, чтобы наши собственные функции имели меньше осцилляций. Возьмем эйнштейниум$^\ddagger$как ядро, так что$Z=99$, и возьмем наименьшее возможное значение (на долю процента меньше, для более красивых чисел):

$$a=1.12\,\mathrm{\mu m}. \tag{11}$$

Теперь давайте определим еще несколько значений. Мы выберем малую полуось$b$орбиты, чтобы иметь разумное значение - чтобы она была явно некруглой, но не делала перицентр слишком маленьким:

$$b=\frac34a=0.84\,\mathrm{\mu m}. \tag{12}$$

Тогда мы имеем средний угловой момент$M$определяется

$$M=b\sqrt{-2mE}=1.145\times10^{-31}\,\mathrm{J\cdot s}=1086\hbar, \tag{13}$$

куда$E$полная энергия (отрицательная, поскольку нас интересует связанное состояние). Это дано

$$E=\frac{-\alpha}{2a}=-1.02\times10^{-20}\,\mathrm{J}=-0.063\,\mathrm{eV}. \tag{14}$$

Из равенства

$$E_n=-\frac{Z^2me^4}{8(2\pi\hbar)^2\varepsilon_0^2n^2} \tag{15}$$

мы можем видеть, что среднее значение главного квантового числа$n$является

$$\langle n\rangle=1447.5. \tag{16}$$

Зададим начальное среднее расстояние электрона от ядра до апоцентра орбиты:

$$r_0=a\left(1+\sqrt{1+\frac{2EM^2}{m\alpha^2}}\right)=1.86\,\mathrm{\mu m}. \tag{17}$$

Для простоты вычисления проекций нашего исходного волнового пакета на собственные состояния мы представим его как произведение трех функций:

$$\psi_0(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi), \tag{18}$$

где эти функции определены как

$$\begin{align} \Phi(\phi)&=\exp\left(-\frac{(r_0(\phi-\pi))^2}{4\sigma_0^2}\right)\exp\left(i\frac M\hbar \phi\right), \tag{19}\\ \Theta(\theta)&=\exp\left(-\frac{(r_0(\theta-\pi/2))^2}{4\sigma_0^2}\right), \tag{20}\\ R(r)&=\exp\left(-\frac{(r-r_0)^2}{4\sigma_0^2}\right). \tag{21} \end{align}$$

С этими определениями орбита и$3\sigma_0$окружность начального волнового пакета будет иметь вид:

Практические расчеты

В принципе, вышеперечисленных параметров достаточно для построения нужного волнового пакета. Но если у нас нет сверхбыстрого компьютера, мы можем захотеть сделать некоторые упрощения вычислений.

За$\Phi$тривиально найти проекции$\Phi_m$на собственные состояния: это просто преобразование Фурье, и, поскольку наш волновой пакет очень локализован в угловом пространстве, мы можем даже интегрировать по$\phi\in(-\infty,\infty)$для простоты получение результатов, очень близких к интегрированию по$\phi\in[0,2\pi]$. Таким образом, результат будет

$$\Phi_m= \int\limits_0^{2\pi} \Phi(\phi)e^{-im\phi}\,\mathrm d\phi\approx \int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\phi)e^{-im\phi}\,\mathrm d\phi=\\ =\frac{2\sqrt\pi\sigma_0}{r_0}\exp\left(\frac{(m-M/\hbar)((M/\hbar-m)\sigma_0^2-i\pi r_0^2)}{r_0^2}\right). \tag{22}$$

Для выбранных нами значений достаточно использовать проекции с$m=1000,...,1170$, так что минимальное значение проекции равно$\sim10^{-4}$(максимум$\sim0.1$).

За$\Theta$найти проекции не так уж и тривиально, и мне пришлось прибегнуть к численному интегрированию. Интеграл

$$\Theta_{l,m}=\int\limits_0^\pi \Theta(\theta)Y_l^m(\theta,0)\sin(\theta)\,\mathrm d\theta, \tag{23}$$

куда$Y_l^m(\theta,\phi)$– сферическая гармоническая функция. К счастью, из-за природы сферических гармоник с большим угловым моментом нам нужно использовать только$l=m,...,(m+7)$. Кроме того, когда$l+m$нечетно, интеграл обращается в нуль, так что это немного упрощает вычисление.

За$R$Нахождение проекций напрямую является самой сложной задачей в численном отношении. Интеграл

$$R_{n,l}=\int\limits_0^\infty R(r)F_{n,l}(r)r^2\,\mathrm dr, \tag{24}$$

куда$F_{n,l}$— радиальная собственная функция водородоподобной системы:

$$F_{n,l}(\rho)=\left(\frac{a_B}Z\right)^{-3/2}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{(n+l)!}}e^{-\frac rn}\left(\frac{2r}n\right)^l\frac2{n^2}L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}n\right), \tag{25}$$

где мы обозначили$r=\frac{Z\rho}{a_B}$, и$a_B$есть радиус Бора . Функция Лагерра$L_n^a$дается в обозначениях, используемых в Научной библиотеке GNU и в Wolfram Mathematica .

Несмотря на сложность расчетов$R_{n,l}$, мы можем удовлетворительно подогнать его, используя следующую формулу для случая$l=m_{\mathrm{min}}=1000$:

$$R_{n,1000}\approx(-1)^{n+l+1}\exp\left(-154.84 - 0.92643 n + 0.00149354 n^2 - 5.46295\times 10^{-7} n^3\right). \tag{26}$$

Максимум$R_{n,l}$как функция$n$примерно совпадает со случаем, когда$F_{n,l}(r)$имеет более дальний поворотный момент в$r=r_0$. Таким образом, чтобы найти$R_{n,l}$для других значений$l$, мы можем просто сдвинуть его максимум на разницу между значениями$n$соответствующие более дальним поворотным точкам, равным$r_0$для собственных состояний$F_{n,l}(r)$. Точки поворота можно найти из уравнения

$$-\frac\alpha {r_0}+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr_0^2}=-\frac{Z^2me^4}{8(2\pi\hbar)^2\varepsilon_0^2n^2}. \tag{27}$$

Расчеты показывают, что для удовлетворительной точности можно принять$n=1300,...,1600$.

Результаты

После описанных выше вычислений мы получаем конечное разложение нашего волнового пакета по водородоподобным собственным функциям:

$$\operatorname{packet}(r,\theta,\phi,t)=\sum\limits_{m=1000}^{1170}e^{im\phi}\Phi_m\sum\limits_{l=m}^{m+7}Y_{l,m}(\theta,0)\Theta_{l,m}\sum\limits_{n=1300}^{1600}R_{n,l}F_{n,l}(r)\exp\left(-i\frac E\hbar t\right). \tag{28}$$

Вот как выглядит эволюция волнового пакета для среза$\theta=\frac\pi2$для$t\in[0,0.95T]$(более длинную версию можно скачать отсюда , 50,3 МБ):

Мы видим, что наши оценки немного ошиблись: волновой пакет не так сильно распространяется в радиальном направлении. Но на самом деле это хорошая новость.

Еще одна вещь, на которую стоит обратить внимание, это очень заметное расплывание волнового пакета из-за неопределенности в радиальном положении в апоцентре, которое становится тем больше, чем дальше мы уходим во времени (видно на более длинной анимации). Но это совершенно классический эффект. Если мы поместим несколько классических частиц вдоль$x$оси, с тем же угловым моментом, массой и зарядом, что и у нашего электрона, и пусть они движутся (пренебрегая взаимодействием между ними), мы увидим такое же разброс их положений. Вот анимация десяти таких частиц, наложенных на волновой пакет:

В конце 4-го орбитального периода (см. самую длинную анимацию по ссылке выше) пакет разлетается настолько, что его «голова» начинает мешать «хвосту», а дальше по времени начинает постоянно самомешать.

---

_{$^\dagger$О выводе формул, описывающих орбитальное движение, см., например, Ландау и Лифшиц, " Механика ",$\S15$Проблема Кеплера.
$^\ddagger$Потому что это самое тяжелое ядро, которое можно получить в макроскопических количествах.}