Ожидаемое значение x,y,zx,y,zx,y,z для общего состояния nlmnlmnlm атома водорода

Как рассчитать ожидаемую стоимость ⟨ Икс ⟩ , ⟨ у ⟩ , ⟨ г ⟩ для общего ψ н л м состояние? Икс имеет грех ⁡ ( θ ) потому что ⁡ ( ф ) угловая часть, которая может быть выражена как 1 2 ( Д 1 − 1 + Д 1 1 ) , теперь угловое интегрирование становится

1 2 ( ∫ ( Д 1 − 1 Д л м * Д л м ) грех ⁡ ( θ ) г θ г ф + ∫ ( Д 1 1 Д л м * Д л м ) грех ⁡ ( θ ) г θ г ф ) .
Вот после этого я могу применить теорему Вигнера-Экарта и проблема может быть решена. Однако есть ли какой-либо другой способ упростить это выражение до какой-то простой общей формулы, подобной соотношениям Крамера для ⟨ р с ⟩ ?

Ответы (3)

Плотности вероятности для всех этих состояний симметричны относительно вращения вокруг г ось и отражения в Икс , у самолет. Затем для этого требуется, чтобы все эти ожидаемые значения исчезли.

Не могли бы вы немного уточнить? Можно ли как-нибудь упростить это выражение для < Икс > и < у > и < г > .
Исчезает ли он для всех состояний ψ н л м ?
Да, можно упростить:
⟨ Икс ⟩ "=" ⟨ у ⟩ "=" ⟨ г ⟩ "=" 0 ,
для всех ψ н л м , по соображениям симметрии.
Если вы абсолютно хотите делать что-то с помощью методов, которые совершенно излишне сложны, вы можете свести интегралы в своем вопросе к тройным произведениям гармоник, например, в этом вопросе (будучи осторожным с сопряженным), а затем используя свойства Вигнера 3j символы (в частности, что они исчезают, если нижняя строка умирает, а не добавляется к нулю). Но это неправильный путь — если вы действительно не понимаете физического содержания, вы просто затемняете причину вместо того, чтобы прояснить ее.

Гораздо проще использовать четность, т.е. симметрию волновой функции относительно пространственной инверсии.

Икс → − Икс у → − у г → − г .
Известно, что
ψ н л м ( − Икс , − у , − г ) "=" ( − 1 ) л ψ н л м ( Икс , у , г ) .
Затем | ψ н л м | 2 даже тогда, когда Икс странно. У вас есть
⟨ н л м | Икс | н л м ⟩ "=" ∫ Икс | ψ | 2 г Икс г у г г .
Подынтегральная функция нечетна относительно обращения пространства, поэтому интеграл обращается в нуль. То же самое верно для у и г .

Обратите внимание, что теорема Вигнера-Эккарта, примененная к группе вращения SO (3), не может дать ответ. Учитывать л г "=" Икс п у − у п Икс . При вращении он превращается в г делает, но

⟨ н л м | л г | н л м ⟩ "=" м ℏ
а не 0. Конечно, этот результат не противоречит теореме WE, поскольку он только говорит, что
⟨ н л м | Икс | н л м ⟩ "=" к ⟨ н л м | л Икс | н л м ⟩
⟨ н л м | у | н л м ⟩ "=" к ⟨ н л м | л у | н л м ⟩
⟨ н л м | г | н л м ⟩ "=" к ⟨ н л м | л г | н л м ⟩
с тем же к , но не исключает к "=" 0 .

Так к "=" 0 имеет другую причину: какая?

Это легко доказать, учитывая количество симметрии, как указано в комментариях. Ориентируйтесь на азимутальный угол, так как стандартные сферические координаты взяты такие, что г -ось совпадает с θ "=" 0 "=" π , мы ожидаем, что интегрирование по азимуту уже будет равно нулю, поскольку атом выглядит одинаково со всех сторон. Итак, вспомним, что сферические гармоники имеют вид:

Д ℓ м ( θ , ф ) "=" К ( ℓ , м ) п ℓ м ( потому что ⁡ θ ) е я м ф
где К является нормировочным коэффициентом и зависит от ℓ и м . Когда кто-то умножает сферическую гармонику на сопряженную, вы устраняете ф часть,
Д ℓ * м Д ℓ м ∝ п ℓ − м п ℓ м ,
это справедливо для любого ℓ или м . Таким образом, азимутальная часть интегралов в вашем вопросе сводится к
∫ г ф е − я ф + ∫ г ф е я ф "=" 0.
Таким образом, сообщение состоит в том, чтобы иметь физическую интуицию, чтобы сказать, что оно равно нулю, а затем доказать это, строго используя физические наблюдения.

Это работает для x и y, но не для z.
Для г можно повернуть систему координат так, что г лежит в самолете θ "=" π / 2 и тот же аргумент справедлив, так как расположение вашего «северного полюса» совершенно произвольно.
Нет, этот аргумент не работает — ваше состояние уже указано, и вращение системы изменит состояние. Гамильтониан симметричен, но собственные состояния не обладают полной симметрией.
Я могу изменить координаты внутри интеграла, если это вам больше подходит, а затем использовать свойство вращения гармоник, которое даст просто раздражающую комбинацию гармоник с одинаковым ℓ и противоположный знак м , которые закончатся в том же виде интегралов, что и выше.
Затем сделайте это, если считаете, что это понятнее, чем использование правильных свойств симметрии состояния. Конечно, не гарантируется, что этот аргумент сработает — он будет давать всевозможные комбинации вида ⟨ ψ н л м | Икс | ψ н л м ′ ⟩ с м ≠ м ′ которые не исчезают, но сокращаются при сложении. Я не считаю такой уровень запутывания полезным, но если вы хотите отредактировать свой ответ так, чтобы он покрывал ⟨ г ⟩ случае таким образом, то это ваш выбор.
Для г , почему бы просто не использовать симметрию п л м ( потому что ⁡ ( θ ) ) .У нас есть элемент объема г В "=" г потому что ⁡ ( θ ) г ф г р . г "=" р потому что ⁡ ( θ ) , таким образом, подынтегральная функция становится
∝ ( п л м ( потому что ⁡ ( θ ) ) ) 2 потому что ⁡ ( θ ) г потому что ⁡ ( θ )
где потому что ⁡ ( θ ) е ( 0 , 1 ) . С п л м ( Икс ) "=" ( − 1 ) м + л п л м ( − Икс ) это быстро следует ⟨ г ⟩ "=" 0 .
Большое спасибо за завершение аргумента @denklo и за понимание, я считаю, что это тот тип аргументов, который искал ОП.
Добро пожаловать. Хотя есть небольшая опечатка: потому что ⁡ ( θ ) е ( − 1 , 1 ) .
Ожидаемое значение x,y,zx,y,zx,y,z для общего состояния nlmnlmnlm атома водорода
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v