Как получить функцию Грина для −∇2+m2−∇2+m2-\nabla^2 + m^2 в измерениях ddd?

Первый шаг состоит в том, чтобы признать, что уравнение инвариантно относительно$d$-мерные вращения вокруг$\mathbf{x} - \mathbf{x}' = \mathbf{0}$и синхронные идентичные переводы$\mathbf{x}$и$\mathbf{x}'$, поэтому мы можем сделать следующий шаг:

$$\begin{align}(-\nabla_d^2 + m^2)G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') &= A \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \\ & \mathrm{let: }\ r \equiv |\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \Rightarrow \\ \frac{A}{\Omega_d r^{d-1}} \delta(r) &= - \frac{1}{r^{d-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^{d-1} \frac{\partial G(r)}{\partial r}\right] + m^2 G(r),\end{align}$$ где фактор$\Omega_d r^{d-1}$происходит от элемента объема$\operatorname{d} V = \Omega_d r^{d-1} \operatorname{d}r$а производные в правой части (правая часть) представляют собой радиальный член$\nabla_d^2$в$d$-мерные сферические координаты ( вики-ссылка ).

Следующим шагом является интегрирование обеих частей уравнения по сферическому объему с центром в начале координат и радиусом$r$, то примем предел как$r \rightarrow 0$. Это дает условие нормировки для$G$:

$$\lim_{r\rightarrow 0} \left[r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\frac{A}{\Omega_d},$$ и обрабатывает часть уравнения, где дельта-функция отлична от нуля.

Область, где дельта-функция равна нулю, однородная область, становится:

$$0 = \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} + \frac{d-1}{r} \frac{\partial G}{\partial r} - m^2 G.$$ Уравнение в однородной области можно привести к более привычному виду заменой функции$G(r) = f(r) r^{-(d/2 - 1)}$давая: $$0 = r^2 \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + r \frac{\partial f}{\partial r} - \left(\frac{d}{2} - 1\right)^2 f - m^2 r^2 f.$$ Знакомой формой этого уравнения является модифицированное уравнение Бесселя . Наиболее общее решение этого уравнения: $$f(r) = C K_{d/2-1}(mr) + D I_{d/2-1}(mr),$$ с$I_{d/2-1}$и$K_{d/2-1}$ модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно и$C$и$D$константы, фиксированные граничными условиями.

Граничное условие на$r\rightarrow \infty$требует$D=0$, придавая следующий вид для$G$:

$$G(r) = \frac{C}{r^{d/2-1}} K_{d/2-1}(mr).$$ Подключаем наше решение для$G$в левую сторону (lhs)$r \rightarrow 0$граничное условие, полученное выше, дает: $$\lim_{r\rightarrow0} \left[ r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\Gamma\left(\frac{d}{2}\right) 2^{d/2-1} m^{1-d/2} C,$$ после применения формы ограничения малого аргумента$K_\nu$. Это подразумевает, что: $$\begin{align}C &= \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2-1}\Gamma(d/2) \Omega_d} \\ & = \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2} \pi^{d/2}},\end{align}$$ где явный вид$\Omega_d = S_{d-1}$был вставлен.

Наконец, заменив$C$дает:

$$G(r) = \frac{A}{(2\pi)^{d/2}} \left(\frac{m}{r}\right)^{d/2-1} K_{d/2-1}(mr).$$