Почему корреляционные функции?

Написанная вами корреляционная функция представляет собой совершенно общую корреляцию двух величин,

$$\langle f(X) g(Y)\rangle$$ Вы просто используете символ $x'$за $Y$и символ $x+x'$за $X$.

Если среда — вакуум или материал — трансляционно инвариантна, значит, ее свойства не зависят от трансляций в целом. Итак, если вы измените$X$а также$Y$на ту же сумму, например, на$z$, корреляционная функция не изменится.

Следовательно, вы можете перейти на$z=-Y=-x'$а это значит, что новый$Y$будет нулевым. Так

$$\langle f(X) g(Y)\rangle = \langle f(X-Y)g(0)\rangle = \langle f(x)g(0) \rangle$$ Как видите, для трансляционно-симметричных систем корреляционная функция зависит только от разности координат, т.е. разделения аргументов $f$а также $g$, что равно $x$в твоем случае.

Таким образом, это должно было объяснить зависимость от$x$а также$x'$.

Итак, что такое коррелятор? Классически это некоторое среднее значение вероятностного распределения.

$$\langle S \rangle = \int D\phi\,\rho(\phi) S(\phi)$$ Это справедливо для $S$также является произведением нескольких количеств. Интеграл проходит по всем возможным конфигурациям физической системы и $\rho(\phi)$- плотность вероятности конкретной конфигурации $\phi$.

В квантовой механике корреляционная функция представляет собой ожидаемое значение фактического состояния системы — обычно это основное состояние и/или тепловое состояние. Для чистого основного состояния имеем

$$\langle \hat{S} \rangle = \langle 0 | \hat{S} | 0 \rangle$$ где 0-кет-вектор - это основное состояние, а для теплового состояния, выраженного матрицей плотности $\rho$, корреляционная функция определяется как $$\langle \hat{S} \rangle = \mbox{Tr}\, (\hat{S}\hat{\rho})$$ Что ж, корреляционные функции — это функции, которые знают о корреляции физических величин. $f$а также $g$в двух точках. Если корреляция равна нулю, похоже, что две величины независимы друг от друга. Если корреляция положительная, похоже, что две величины, вероятно, имеют одинаковый знак; чем она положительнее, тем больше они коррелируют. Они коррелируют с противоположными знаками, если корреляционная функция отрицательна.

В квантовой теории поля корреляционные функции двух операторов, как вы и написали, известны как пропагатор, и это математическое выражение, которое заменяет все внутренние линии диаграмм Фейнмана. Он говорит вам, какова амплитуда вероятности того, что соответствующая частица распространяется из точки$x+x'$к точке$x'$. Обычно он отличен от нуля только внутри светового конуса и зависит только от разности координат. Исключением является пропагатор Фейнмана в КЭД. Он также отличен от нуля вне светового конуса, но вызывает античастицы, которые отменяют этот ненулевой вклад вне светового конуса и сохраняют причинность.

Корреляционные функции, включающие произвольное положительное число операторов, известны как функции Грина или$n$-точечные функции, если произведение$n$количество заключено в скобки. В некотором смысле,$n$-точечные функции знают все о вычисляемых динамических величинах, описывающих физическую систему. Тот факт, что все можно разложить на корреляционные функции, является обобщением разложений Тейлора на случай бесконечного числа переменных.

В частности, амплитуда рассеяния для$n$внешних частиц (общее количество, включая входящие и вылетающие) можно рассчитать из$n$-точечные функции. Диаграммы Фейнмана, упомянутые ранее, представляют собой метод систематического выполнения этого расчета: сложный коррелятор может быть переписан в функцию двухточечных функций, пропагаторов, стянутых с вершинами взаимодействия.

Существует много слов для физического описания корреляционной функции в различных контекстах, таких как функции отклика и т. д. Идея состоит в том, что вы вставляете примесь или сигнал в$x'$, это твой$g(x')$, а вы изучаете сколько поле$f(x+x')$в точку$x+x'$на него влияет примесь$g(x')$.

очень наглядный пример корреляционных функций можно увидеть в лазерной спекл- метрологии .

Если вы направите свет на поверхность, шероховатую по сравнению с длиной волны, результирующий отраженный сигнал будет каким-то образом случайным . Это также можно сформулировать так, что по одной точке сигнала нельзя сказать, как выглядит соседняя – они некоррелированы . Такое поле часто называют спекл-структурой .

Этот факт можно использовать. Предположим, вы делаете снимок$A(x,y)$такого случайного рассеянного поля движение изображения

$$(x,y)\rightarrow (x+\delta_x, y+\delta_y) = (x',y')$$ таким образом $$B(x,y) \approx A(x',y')$$

будет хорошо видно, и поскольку вся информация является статистической, можно обнаружить, что

$$C(\Delta_x,\Delta_y) = \int B(x,y) A(x + \Delta_x, y + \Delta_y) dx dy$$

будет иметь только "большой" вклад в$(\Delta_x,\Delta_y) \equiv (\delta_x, \delta_y)$какой-то остроконечной формы. Ширина пика будет определяться некоторыми физическими свойствами освещения, шероховатостью поверхности и т. д. - она ​​напрямую соответствует локальному изменению поля.

Если бы мы теперь имели в поле некоторое периодическое изменение , мы могли бы видеть, что$C$будет иметь несколько пиков , соответствующих самоподобию изображения (или поля) .

Таким образом, анализ корреляции количества даст вам информацию о том, как быстро оно меняется и является ли оно самоподобным.
Надеюсь, вы не возражаете, что я выбрал приложение, исходящее из более практической точки зрения.

Искренне

Роберт

PS: Больше можно найти во всех очень богатых работах Гудмана .

Отличный вопрос, Костя. Любош уже давал развернутый ответ, используя общие рассуждения на языке QFT.

Однако в астрофизике и космологии есть еще одна и очень простая причина, по которой мы все время используем корреляционные функции. Получается, что среднее значение функции$f(\vec{x})$, обозначенный$\langle f(\vec{x})\rangle$, часто не может быть предсказано теоретической моделью (например, модель горячего Большого взрыва с инфляционной стадией на ранней стадии, холодная темная материя в более поздние времена и т. д. или любая другая модель, которую вы хотите рассмотреть)$\langle f(\vec{x})f(\vec{y})\rangle$ можно предсказать. Здесь$f$может относиться к любой космологической наблюдаемой величине, и$\vec{x}$а также$\vec{y}$относятся к пространственным координатам.

Наиболее распространенным примером может быть рассмотрение избыточной плотности темной материи,$f(\vec{x})\equiv \delta\rho(\vec{x})/\rho$, куда$\rho$- средняя плотность (единицами которой являются, например, килограммы на кубический метр) и$\delta\rho(\vec{x})$это избыточная избыточная или недостаточная плотность в месте$\vec{x}$, и над некоторой областью, которую я не буду указывать для простоты рассуждения. По определению, среднее значение$f$равна нулю, поэтому мы явно указываем, что нас не интересует среднее значение (в качестве альтернативы, мы не можем легко получить среднюю плотность Вселенной из первых принципов). Но корреляционная функция,$\langle \delta\rho(\vec{x})\delta\rho(\vec{y})/\rho^2\rangle$могут быть связаны с фундаментальными параметрами Вселенной, в частности с деталями инфляционной эпохи, плотностью темной материи и т. д. Подробности этого вовлечены и преподаются в аспирантуре по космологии. Достаточно сказать, что теория предсказывает не среднее значение функции (1-точечная корреляционная функция), а скорее ее (ко)вариации (2-точечная корреляционная функция).

Интуитивно понятно, что двухточечная корреляционная функция$\delta\rho/\rho$связано с «вероятностью того, что, учитывая сверхплотную область темной материи в этом месте$\vec{x}$, в локации имеется область повышенной плотности$\vec{y}$", и эта вероятность определяется старым добрым законом всемирного тяготения - и может быть предсказана из первых принципов.

Теория также в принципе предсказывает 3-точечный (например,$\langle f(\vec{x})f(\vec{y})f(\vec{z})\rangle$и высокоточечные корреляционные функции, но их сложнее рассчитать теоретически и измерить с помощью наблюдений. Тем не менее, в физике элементарных частиц и космологии существует процветающая область теоретического предсказания и экспериментального измерения этих так называемых корреляционных функций более высокого порядка.

Последним компонентом всего этого является роль измерения корреляционной функции. Знак углового усреднения,$\langle\cdot\rangle$подразумевает, что мы должны проводить усреднение по различным реализациям системы — то есть Вселенной — в одной и той же лежащей в основе космологической модели . Это явно невозможно, так как мы можем измерить только одну вселенную! Вместо этого мы предполагаем статистическую однородность (что совпадает с трансляционной инвариантностью из сообщения Любоша). Затем, вместо усреднения по разным вселенным, космологи усредняют$f(\vec{x})f(\vec{y})$в разных местах($\vec{x}, \vec{y}$) в нашей Вселенной, которые имеют фиксированное расстояние между двумя точками$|\vec{x}-\vec{y}|$. Таким образом, используя допущение статистической однородности, мы можем получить хорошие измерения корреляционной функции любой желаемой величины.

Есть и другая причина, хотя и не интуитивная. Стохастический процесс почти полностью характеризуется своей автокорреляционной функцией. Точнее, если процесс стационарный (разумеется, все эти методы работают только после детрендирования процесса и предварительного анализа и фильтрации всех циклов) и гауссовский, и центрированный, то он полностью характеризуется автокорреляцией функция. Это аналогично тому элементарному факту, что нормальная случайная величина полностью характеризуется своим средним значением и стандартным отклонением.

Но ждать. Есть больше. Даже если процесс не является гауссовским, он характеризуется тем, что известна не только обычная автокорреляция, которую еще называют двухточечной корреляционной функцией, но и все высшие автокорреляции. (т. е. трехточечные, четырехточечные и т. д.). Это аналогично (сложной) «проблеме моментов». решены моим (академическим доктором генеалогии) предком Марселем Риссом и этим гением-алкоголиком Швеции Карлманом, который говорит, что если вы знаете все моменты случайной величины, она определена с точностью до эквивалентности.

И на практике именно корреляции наиболее доступны для измерения. Большинство экспериментов с частицами, в том числе знаменитые эксперименты Аспекта с неравенством Белла, являются измерениями корреляций. Вероятно, в этом есть какой-то глубокий философский смысл...