Как получить радиус Шварцшильда? [дубликат]

Геометрия пространства-времени описывается уравнением, называемым метрикой . Это аналогично теореме Пифагора, но с некоторыми ключевыми отличиями.

Начните с двумерной плоскости, где мы идентифицируем положение точек по их$(x, y)$координаты. Предположим, вы перемещаетесь на расстояние$dx$затем расстояние$dy$, затем расстояние от начальной точки,$ds$, определяется теоремой Пифагора :

Если ввести третье пространственное измерение,$z$, то теорема Пифагора обобщается до:

И если теперь ввести измерение времени,$t$, у вас может возникнуть соблазн подумать, что расстояние$ds$дан кем-то:

Но это неправильно. Теория относительности говорит нам, что расстояние$ds$на самом деле дается:

Обратите внимание, что$dt^2$член получает знак минус. Мы также умножаем на скорость света$c$, но это только для того, чтобы преобразовать время в расстояние, чтобы уравнение было согласовано по размерам (единицы$ct$световые секунды, т.е. расстояние). Это уравнение называется метрикой Минковского и является основой специальной теории относительности. Действительно, вся Специальная теория относительности описывается одним этим уравнением, то есть замедлением времени, сокращением длины и всеми другими странными вещами .

Во всяком случае, метрика Минковского говорит нам о расстоянии$ds$в плоском пространстве-времени. В искривленном пространстве-времени уравнение более сложное, а для пространства-времени вокруг черной дыры$ds$дан кем-то:

Это пресловутая метрика Шварцшильда . Уравнение в полярных координатах, что делает его более сложным, но если вы сравните его с метрикой Минковского, вы увидите, что оно не так уж отличается, за исключением того, что$c^2dt^2$срок теперь умножается на$1 - 2GM/(c^2r)$, и пространственный член,$dr^2$, делится на$1 - 2GM/(c^2r)$.

Метрика Шварцшильда получается путем решения уравнения Эйнштейна для сферически-симметричной массы. Подробности длинные и сложные , поэтому, боюсь, вам придется поверить в то, что метрика Шварцшильда действительно описывает геометрию черной дыры.

Во всяком случае, если вы возьмете расстояние$r$быть:

затем происходит что-то странное, потому что этот фактор$1 - 2GM/(c^2r)$становится:

и уравнение принимает вид (я опустил угловой бит, потому что он не имеет отношения к этому аргументу):

Ты видишь проблему? Наше уравнение теперь содержит деление на ноль, поэтому значение$ds^2$не определено. Это координатная сингулярность , и именно она определяет горизонт событий. Вот почему положение горизонта событий, также известного как радиус Шварцшильда , определяется как:

Вы стоите на поверхности планеты массы$M$и радиус$R$. С какой скоростью$v$нужно выбросить с планеты предмет массы$m$что не вернется? Гравитационная сила$F=G\frac{mM}{r^2}$. Работа, которую нужно совершить, чтобы переместить объект в гравитационном поле планеты с расстояния R на бесконечность, равна$A = \int{_R}^{+\inf}G\frac{mM}{r^2}dr = \frac{GMm}{R}$. Вы передаете энергию объекту, бросая его с некоторой скоростью.$v$, поэтому эта энергия обеспечивается кинетической энергией вашего объекта:$\frac{mv^2}{2}$. Вы получаете:$G\frac{mM}{R}=\frac{mv^2}{2}$, и наконец$R=\frac{2GM}{v^2}$. Для скорости$v$и масса планеты$M$формула говорит вам, что если вы стоите на расстоянии$x>R$, объект вернется. Вы знаете, что максимальная скорость объекта ограничена скоростью света.$c$, используйте его и получите радиус Шварцшильда.