Как получить уравнения состояния, дифференцируя термодинамический потенциал?

Для идеального газа в замкнутой системе термодинамический потенциал U, внутренняя энергия, определяется выражением

$$U(V,S) = U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}},\quad C_V = \frac{3}{2}Nk_B$$

ср. например уравнение (5.6) настоящего документа . Поскольку это термодинамический потенциал, я должен иметь возможность извлекать функции состояния, т. е. уравнения состояния из$U(V,S)$дифференцируя его.

Я должен найти закон идеального газа и калорическое уравнение состояния, используя

$$\begin{align}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} = -p \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad pV=Nk_BT \\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} = T \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad U=\frac{3}{2}Nk_BT \end{align}$$

Взяв производную от$U$урожаи

$$\begin{align} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} &= -U_0 \frac{2}{3}V_0^{2/3}\frac{1}{V^{5/3}} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} = -p\\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} &= U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} \frac{1}{C_V} = T \end{align}$$

Я сейчас столкнулся с двумя вариантами:

1. Устранять$U_0$,$V_0$и$S_0$, что дает закон идеального газа,$pV=Nk_BT$. Где калорийный эос?
2. Позволять$V\to V_0$и$S\to S_0$, что дает оба уравнения состояния, как и ожидалось. Однако это$X\to X_0$мне кажется аргумент маханием рукой.

Почему я получаю только одно уравнение состояния в варианте 1? В чем причина выполнения замены, как описано в варианте 2?