В чем разница между ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle и ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?

Возьмем пример: идеальный газ. Я знаю, например, что ⟨ в ⟩ 2 отличается от ⟨ в 2 ⟩ , как ⟨ в ⟩ "=" 0 из-за отсутствия предпочтительного направления.
Но знайте, вычислю ли я среднее значение абсолютного значения ⟨ | в | ⟩ Я получил:

м 2 ⟨ | в | ⟩ 2 "=" 4 π к Б Т ≠ 3 2 к Б Т "=" м 2 ⟨ в 2 ⟩
где к Б Т это «тепловая энергия» и м массы частиц. Проще говоря:
⟨ в 2 ⟩ ⟨ | в | ⟩ 2 "=" 3 π 8 ≈ 1,18

Есть ли какое-либо физическое или математическое объяснение этому расхождению?

Редактировать: Возможно, это соотношение не имеет большого значения, но я пытаюсь выяснить разницу в литературе, связанную с числом Лоренца в модели Друде. Некоторые авторы используют ⟨ в 2 ⟩ (Эшкрофт, Мермин, физика твердого тела) и др. ⟨ | в | ⟩ 2 (Киттель и др. вроде Гиперфизики ).

Дело в том, что вы сравниваете ⟨ в 2 ⟩ с (     ⟨ | в | ⟩     ) 2 . Это разные. Первый будет таким же, как ⟨ | в | 2 ⟩ , но не в том случае, если квадрат снаружи.
@FGSUZ Это я понимаю.

Ответы (3)

Нет никаких причин для сохранения идентичности; в общем случае среднее значение квадратного корня неотрицательной случайной величины не является квадратным корнем среднего значения.

Но имеет ли это соотношение какой-либо смысл? Я имею в виду, что разница между средним значением квадрата v и средним значением квадрата v обычно связана с некоторым стандартным отклонением. В этом случае речь идет о разнице между средним значением квадрата v и средним значением |v| в квадрате.
Любая вещь имеет смысл только в том случае, если она возникает в расчетах естественным образом.
@VladimirKalitvianski да, смотрите правку.

Забудьте, что скорость - это вектор в → на данный момент, и просто позвольте в "=" в → обозначают скорость (т.е. модуль вектора скорости). Это просто неотрицательная реальная случайная величина, и вы спрашиваете, почему ⟨ в 2 ⟩ ≠ ⟨ в ⟩ 2 . Но, как известно, разница между этими двумя выражениями — это всего лишь дисперсия в .

Хорошо, чтобы прояснить это, дисперсия <v^2> - <v>^2 или <v^2> - < vec(v) >•< vec(v) > ? Есть ли разница?
@Mauricio Я обсуждал дисперсию | в | , который ⟨ в 2 ⟩ − ⟨ в ⟩ 2 . Однако, ⟨ в 2 ⟩ − ⟨ в → ⟩ ⋅ ⟨ в → ⟩ "=" ∑ я ( ⟨ в я 2 ⟩ − ⟨ в я ⟩ 2 ) представляет собой сумму дисперсий компонентов.
Остановимся на 1D. В QM для вычисления дисперсии импульса P данного состояния мы вычисляем его как <p^2> - <p>^2, а не <p^2> - <|p|>^2
@Mauricio Первое - это дисперсия импульса, второе - беззнакового импульса. Радиально-векторное различие существует даже тогда, когда «вектор» является одномерным.

Один определяется как

⟨ | в | ⟩ "=" ∫ | в | ф ( в ) д в ∫ ф ( в ) д в
в то время как другой
⟨ в 2 ⟩ "=" ∫ в 2 ф ( в ) д в ∫ ф ( в ) д в .
Ясно, что ⟨ | в | ⟩ 2 ≠ ⟨ в 2 ⟩ .

В чем разница между ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle и ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v