Почему (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 для идеального газа?

Из идеального газа (уравнение состояния)

(1) В "=" Н К Б Т п

Где п абсолютное давление газа, Н это количество молекул в данном объеме В , К Б - постоянная Больцмана, а Т – абсолютная (термодинамическая) температура.

Общее уравнение для внутренней энергии U идеального газа определяется выражением

U "=" 1 2 н г Н К Б Т "=" 1 2 н г п В используя (1)
где н г - число степеней свободы молекул газа.

При постоянном давлении идеального газа я знаю, что

(2) ( ∂ В ∂ Т ) п "=" ( ∂ ( Н К Б Т п ) ∂ Т ) п "=" Н К Б п

Но по моей логике при постоянной температуре

( ∂ U ∂ В ) Т "=" ( ∂ ( 1 2 н г п В ) ∂ В ) Т "=" 1 2 н г п ≠ 0

Причина, по которой я задаю этот вопрос, заключается в том, что он является частью доказательства того, что теплоемкость при постоянном давлении С п связана с теплоемкостью при постоянном объеме С В :

С п "=" ( ( ∂ U ∂ В ) Т + п ) ( ∂ В ∂ Т ) п + С В

⟹ С п "=" Н К Б + С В

Где желтая выделенная часть держится только тогда и только тогда, когда

( ∂ U ∂ В ) Т "=" 0
и ( 2 ) верно.

Может кто-нибудь объяснить мне, почему

( ∂ U ∂ В ) Т "=" 0
и не 1 2 н г п ?

Примечание:

Я могу загрузить выдержку из книги по выделенной формуле, если это необходимо/запрошено.

Для уравнения красного цвета постоянной остается только температура (т. е. P может изменяться при изменении V). Поэтому частичная дифференциация здесь неверна.
@QMM Спасибо за разъяснения, теперь это начинает иметь смысл.

Ответы (2)

Ваше красное уравнение неверно. Напомним, что при фиксированном Т , п является функцией В . Итак, у вас вместо этого

( ∂ U ∂ В ) Т "=" 1 2 н г п + 1 2 н г В ∂ п ∂ В

Оценивать ∂ п / ∂ В используя уравнение (1) и все готово.

Спасибо за действительно эффективный и отличный ответ, о. впечатляющий (+1, конечно!). С уважением.

При расчете ( ∂ U ∂ В ) Т вы должны рассмотреть U как функция В и Т . Поэтому п не является независимой переменной. Если вы пишете

U "=" н г 2 п В
тогда ты должен помнить п также является функцией В и Т . Явно,
U ( В , Т ) "=" н г 2 п ( В , Т ) В "=" н г 2 Н к Б Т В В "=" н г 2 Н к Б Т
и поэтому
( ∂ U ∂ В ) Т "=" 0 .

Альтернативно,

U ( В , Т ) "=" н г 2 п ( В , Т ) В ( ∂ U ∂ В ) Т "=" н г 2 ∂ ∂ В ( п В ) "=" н г 2 [ п + В ( ∂ п ∂ В ) Т ] "=" н г 2 [ п + В ( ∂ ∂ В Н к Б Т В ) Т ] "=" н г 2 [ п − В Н к Б Т В 2 ] "=" н г 2 [ п − Н к Б Т В ] "=" 0 .

Спасибо за ваш ответ. Так что просто для ясности; Причина по которой ( ∂ U ∂ В ) Т "=" 0 в основном потому, что В отменить? Или есть нечто большее, чем это? В остальном отличный ответ! (+1).
Только один последний вопрос; Вы упоминаете в начале своего ответа, что «вы должны учитывать U как функция В и Т ". Почему это? Почему бы не рассмотреть U как функция п и Т или U как функция В и п ? С уважением.
Почему (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 для идеального газа?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v