Я изучаю построение функций Ванье для одномерной системы с периодическими граничными условиями, и мои рассуждения, кажется, немного отличаются от того, что я могу найти в учебниках.

Прежде всего, если моя решетка$M$узлов, то волновой вектор, принадлежащий 1-й зоне Бриллюэна, является дискретным и имеет вид:

$$k_{n} = -\frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ где$n = 0, 1, \ldots, M$и$d$- шаг решетки. Так,$-\pi/d \le k_n \le \pi/d$. Всего у нас есть$M+1$разные значения. Как только мы нормализовали блоховские функции$\psi_{n}(x)$мы определим функцию Ванье как: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M+1}}\sum\limits_{n=0}^{M}\psi_{n}(x)$$ с$1/\sqrt{M+1}$коэффициент, обеспечивающий нормировку: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ W^{*}(x)W(x) = 1$$ где$L = d\cdot M$. Мы используем тот факт, что: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ \psi^{*}_{n}(x)\psi_{m}(x) = \delta_{n,m}$$ Большинство учебников определяют функцию Ванье с помощью$1/\sqrt{M}$что, на мой взгляд, неверно, потому что функция Ванье не будет должным образом нормализована. Что вы думаете?

Второе. Рассмотрим простейший случай свободной частицы. Тогда блоховские функции следующие:

$$\psi_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i k_n x}$$ Согласно моему определению функции Ванье мы получаем: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\sum\limits_{n=0}^{M}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{M} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{M}x\right]}$$ В учебниках помимо уже упомянутой разницы между$M$и$M+1$они пишут: $$W(x) = \sqrt{\frac{M}{L}}\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ Я проверил численно, что для больших$M$ $$\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{N} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{N}x\right]} \approx M\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ Вы знаете, как это показать?

ОБНОВЛЯТЬ

Согласно определению 1-я зона Бриллюэна в 1D представляет собой набор волновых векторов, ограниченный областью:

$$-\frac{\pi}{d} \le k_n < \frac{\pi}{d}$$ где $$k_n = \frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ с$n = 0,1,\ldots, M-1$. При таком определении функция Ванье для свободных частиц выглядит так $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M L}}\sum\limits_{n=0}^{M-1}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{M L}}\left\{ \cot\left( \frac{\pi}{d M}x \right) \sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) - i\sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) \right\}$$ Для больших$M$вышеуказанная функция ведет себя как:$W(x) \approx \sqrt{\frac{M}{L}}\left\{ \frac{\sin(\pi x/d)}{\pi x/d} - i\sin(\pi x/d)\right\}$что не является результатом учебника из-за нескомпенсированной мнимой части. Однако в оригинальной статье Кона дискретную сумму он заменил интегралом. На мой взгляд, он не совсем точно определен (дополнительный термин отсутствует). Рассмотрим формулу Эйлера-Маклорена $$\sum\limits_{n=0}^{M-1}f(n) = \sum\limits_{n=0}^{M} f(n) - f(M) \approx \int\limits_{0}^{M}dn\ f(n) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right) = \frac{d M}{2 \pi}\int\limits_{-\pi/d}^{\pi/d}dk \tilde{f}(k) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right)$$ Кон и другие авторы забыли о втором члене, который не мал и фактически не зависит от$M$в случае свободной частицы. Теперь дискретная формула дает тот же ответ, что и интегральное представление - функция Ванье не является чисто вещественной, пока мы не включаем в суммирование две крайние точки.