Как правильно моделировать диффузию в неоднородных средах (закон Фоккера-Планка или закон Фика) и почему?

Меня очень смущает следующая проблема. Обычно одномерное уравнение Фоккера-Планка записывается в следующем виде:

∂ ψ ∂ т "=" − ∂ ∂ Икс ( Ф ψ ) + ∂ 2 ∂ Икс 2 ( Д ψ )

В то время как традиционное уравнение конвекции-диффузии без источников имеет вид:

∂ ψ ∂ т "=" − ∂ ∂ Икс ( Ф ψ ) + ∂ ∂ Икс ( Д ∂ ψ ∂ Икс )

Учитывая непостоянную диффузию Д "=" Д ( Икс , т ) эти уравнения существенно различаются, что выглядит удивительно, ведь они должны взаимозаменяемо подходить к одним и тем же задачам (например здесь ). Есть ли какая-то глубокая причина / физическое объяснение такой разницы?

Или, проще говоря, предполагается, что оба уравнения описывают эволюцию ψ с учетом Ф ( Икс , т ) и Д ( Икс , т ) . Предположим, у меня есть мой дистрибутив чего-то ψ и соответствующие коэффициенты, как я могу решить, какую форму уравнения мне следует использовать?

PS Когда кто-то записывает уравнение Ланжевена для броуновского движения с непостоянной диффузией, появляется так называемый дрейф, вызванный шумом, и соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет форму уравнения конвекции-диффузии, о которой я упоминал ранее. тогда это «классическое» уравнение ФП подходит только для постоянной диффузии, что совершенно неверно. В конце концов я полностью заблудился.

∂ Икс 2 ( Д ψ ) ≠ ∂ Икс ( Д ∂ Икс ψ ) для Д ≠ константа , так что совсем не должно удивлять, что они отличаются (ср. этот мой ответ )
@KyleKanos Насколько я понимаю, оба уравнения должны быть одинаковыми, поскольку вы можете использовать их для одних и тех же задач (оба уравнения FP или наоборот), но они различаются, обычно вы пишете разные уравнения FP и уравнения конвекции-диффузии. Я не понимаю, какая физика стоит за этой разницей.
Вы можете использовать их только для одной и той же проблемы, если Д "=" константа в обоих случаях. Если Д ≠ константа , то они явно не одинаковы и не могут использоваться для одних и тех же задач. Физика заключается в том, что коэффициент диффузии теперь пространственно зависит, поэтому ∂ Икс Д ≠ 0 ; кроме того, я не уверен, что вопрос действительно здесь.
@KyleKanos Хорошо, скажем так. Предполагается, что оба уравнения описывают эволюцию ψ с учетом Ф ( Икс , т ) и Д ( Икс , т ) . Предположим, у меня есть мой дистрибутив чего-то ψ и соответствующие коэффициенты, как я могу решить, какую форму уравнения мне следует использовать?
Это хороший вопрос, хотя с другой формулировкой вы можете получить лучший ответ; «Правильно ли использовать закон Фоккера-Планка или закон Фика для моделирования диффузии в неоднородных средах». Ответ не сразу очевиден для меня, хотя я интуитивно предпочел бы первое в качестве естественной отправной точки на том основании, что оно получено (из уравнения Мастера), а второе является эмпирическим уравнением, которое, возможно, вы можете вывести из первого. с дальнейшим приближением (формулировки отличаются только на член).
Я не знаю полного ответа и надеюсь, что вы его найдете. Во-первых, я могу ошибаться, но я считаю, что если причиной пространственно изменяющегося D является температурный градиент, вы получите другой ответ, чем если бы причиной пространственно изменяющегося D были свойства материала и т. д. (Когда система случайно колеблясь в температурном градиенте, я думаю, что он имеет тенденцию двигаться к более низкой температуре, даже если химический потенциал постоянен.Посмотрите микроскопические объяснения эффекта Зеебека для объяснения; качественно аналогичное микроскопическое объяснение пондеромоторной силы.)

Ответы (2)

Это сложный вопрос, и, как выразился ван Кампен, «не существует универсальной формы уравнения диффузии, но каждую систему следует изучать индивидуально». https://link.springer.com/article/10.1007/BF01304217 (К сожалению, у меня нет полного доступа к его статье, но вы можете получить ее через свою библиотеку.)

Итак, основная причина, по которой этот вопрос является липким, заключается в том, что он выявляет двусмысленность в описании Ланжевена. В статье Википедии, на которую вы ссылаетесь, говорится, что процесс Ито , уравнение Ланжевена которого гласит:

г Икс т "=" мю ( Икс т , т ) г т + о ( Икс т , т ) г Вт т ,
тогда соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет вид
∂ п ∂ т "=" − ∂ [ мю п ] ∂ Икс + 1 2 ∂ 2 [ о 2 п ] ∂ Икс 2
где о 2 / 2 "=" Д .

Обратите внимание, что они определили, что это процесс Ито . Если бы это был процесс Стратоновича, т.е.

г Икс т "=" мю ( Икс т , т ) г т + о ( Икс т , т ) ∘ г Вт т ,
уравнение Фоккера-Планка будет читать
∂ п ∂ т "=" − ∂ [ мю п ] ∂ Икс + 1 2 ∂ ∂ Икс [ о ∂ ∂ Икс ( о п ) ] .
Итак, теперь есть два разных уравнения Фоккера-Планка в дополнение ко второму закону Фика? Что дает?

Дело в том, что когда вы записываете процесс Ланжевена, имея о пространственная зависимость приводит к тому, что шумовой член оказывает нелинейное влияние на положение. На картинке Ито шум трактуется так, как если бы он толкал броуновскую частицу в начале каждого временного интервала. Δ т . В соглашении Стратановича шум усредняется между конечными точками временного интервала. В зависимости от того, используете ли вы интеграцию по соглашению Стратановича или по соглашению Ито, вы получите разные результаты. Существует также другое соглашение, называемое изотермическим соглашением, и оно дает уравнение Фоккера-Планка, которое выглядит немного ближе к закону Фика. Вот несколько ссылок, к которым у вас должен быть доступ: http://www.bgu.ac.il/~ofarago/shakedthesis.pdf и https://arxiv.org/pdf/1402.4598.pdf .

Ваше здоровье!

Большое спасибо, отличный ответ! И за ссылки тоже спасибо. Почему-то я всегда считал обе конвенции полностью эквивалентными. Но все же это скорее техническая причина. Если два формализма ведут к двум разным реальностям, то можно было бы ожидать какой-то фундаментальной черты процесса, указывающей, как к нему тогда следует относиться. Просматривая некоторые бумаги после вашего ответа, я нашел забавный вывод, вкратце "Ито математически корректен, а Стратонович описывает то, что на самом деле происходит в природе".

Для полноты и для дальнейшего использования я хочу немного добавить к ответу @AlbertB, в частности, добавить следующие ссылки:

Короче говоря, моделирование случайного процесса обычно начинается с написания соответствующих уравнений Ланжевена, описывающих локальную микроскопическую динамику. Эти уравнения включают стохастические (случайные) переменные и решаются для конкретной реализации шума. Когда шумовой член мультипликативен (зависит от состояния), то есть величина шумового члена связана с состоянием системы, решение требует того, что называется интерпретацией. Разные интерпретации имеют разные физические значения, которые проявляются в разных физических системах и обычно имеют очень разные решения. Самые популярные интерпретации - Ито, Стратанович и Ханги-Климонтович. Следуя процедуре, которая усредняет шум по траекториям и генерирует правильное уравнение Фоккера-Планка для указанного уравнения Ланжевена, различные интерпретации приводят к различным уравнениям Фоккера-Планка. Ссылка1 включает правильные версии уравнений Ланжевена и соответствующие им уравнения Фоккера-Планка для трех популярных интерпретаций. Ссылка 2 сравнивает три физические системы, которые требуют различных интерпретаций, чтобы иметь смысл.

Большое спасибо за разъяснения и отличные статьи!
Как правильно моделировать диффузию в неоднородных средах (закон Фоккера-Планка или закон Фика) и почему?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v