Какова функция плотности вероятности во времени для одномерного случайного блуждания по линии с границами?

Если одна частица находится на бесконечной линии и совершает одномерное случайное блуждание, плотность вероятности ее пространственно-временной эволюции захватывается одномерным гауссовым распределением.

п ( Икс , т ) "=" 1 4 π Д т е − ( Икс − Икс 0 ) 2 4 Д т

Однако предположим, что на линии есть непроходимые границы; с одной стороны, или с обеих сторон. Существуют ли какие-либо граничные условия, для которых существует закрытая функция плотности вероятности того, как эта частица будет вести себя с течением времени? Любые ссылки на такие решения были бы чрезвычайно полезны.

РЕДАКТИРОВАТЬ. Попытка обобщить приведенный ниже результат Эмилио для произвольного начального положения частицы. − л / 2 < Икс 0 < л / 2 .

Пришлось разбираться на примере. Я обнаружил, что следующие «изображения» необходимы для учета отражений нецентральной частицы в положении Икс 0 : для первого и второго отражений с обеих сторон новые гауссианы должны были быть центрированы ( − 2 л + Икс 0 , − л − Икс 0 , Икс 0 , л − Икс 0 , 2 л + Икс 0 ). Из шаблона я думаю, что полное решение может быть выражено для всех целых чисел н , как:

п ( Икс , т ) "=" 1 4 π Д т ∑ н "=" − ∞ ∞ е − ( Икс − н л − ( − 1 ) н Икс 0 ) 2 4 Д т

где старый Икс 0 теперь определяется как н л + ( − 1 ) н Икс 0

какие шаги вы предпринимаете? Кроме того, что вы имеете в виду под словом «бесстрастный»? Вы хотите сказать, что отвергаете любой шаг, ведущий за границу?
На ум приходят периодические граничные условия.
Общий совет: «закрытая форма» не очень хорошо определена. Обычно люди имеют в виду «хорошие функции, которые мне нравятся и понятны», но это явно субъективно. Существует множество решений физически вдохновленных математических задач, которые прекрасно себя ведут и являются аналитическими, но никто не удосужился присвоить им аббревиатуры. е , грех или Дж 0 . Этими функциями по-прежнему можно управлять, и их легко вычислить с произвольной точностью.
Почему есть закрытое голосование по этому поводу? Это совершенно законный, хорошо определенный и хорошо сформулированный вопрос.
@MikeFlynn точно. Есть несколько способов наложить граничное условие, за которое частицам не разрешается выходить, и меня сейчас интересует любое из этих условий.
@ChrisWhite Совет принят, и я признаю, что даже решения, требующие численной оценки, потенциально применимы для моей проблемы. С другой стороны, я не гений математики, поэтому мне становится все менее комфортно, чем сложнее решение. Я уже далеко не в себе.
Что касается комментария @MikeFlynn, ваши частицы могут 1) отскочить от барьера, 2) остановиться у барьера, 3) если они ударятся о барьер, считайте это недопустимым движением и повторите попытку. Это имеет большое значение в том, что такое распределение.
@MikeDunlavey Чем отличаются 1 и 3? Если нет временной задержки (и как бы вы это реализовали?), с точки зрения работы они выглядят совершенно одинаково.
Отказ от траектории, пересекающей границу, как в 3, звучит для меня алгоритмически, а не физически.
@Emilio: Для 1) я думал о подпрыгивании мяча, когда ему не нужно возвращаться туда, откуда он начал. Для 3) Я думал, что если траектория мяча ударится о стену, эта траектория просто не будет предпринята, она будет отклонена.
@MikeDunlavey, так куда делся мяч?
@EmilioPisanty Можете ли вы просмотреть мои правки над Эмилио? Это похоже на то, что вы думали для асимметричной начальной позиции?
Почти но не совсем. Обратите внимание, что вам понадобятся две независимые серии частиц, разнесенные на 2 л , так как симметрия нарушена. (Представьте себе, что вы стоите между двумя зеркалами совсем близко от одного из них. Вы увидите множество своих пар.) Таким образом, для частицы на Икс 0 и зеркала на ± л / 2 , у вас будет одна серия в Икс 0 + 2 л н и один в л − Икс 0 + 2 л н "=" ( 2 н + 1 ) л − Икс 0 . (Для Икс 0 "=" 0 , конечно, они сводятся к одной серии в н л .) Каждая из них будет суммироваться с другой тета-функцией, хотя вы можете найти способ соединить два термина в DLMF .
@EmilioPisanty Я думаю, что ваши две серии и моя серия одинаковы. Для моей серии n = от -2 до 2 дает − 2 л + Икс 0 , − л − Икс 0 , Икс 0 , л − Икс 0 , 2 л + Икс 0 , и я думаю, что это то же самое, что и ваш первый ряд, суммированный для n = -1 до 1 ( − 2 л + Икс 0 , Икс 0 , 2 л + Икс 0 ) плюс ваш второй ряд для n=-1 до 0 ( − л − Икс 0 , л − Икс 0 ). Я еще не совсем уверен, как использовать тета-функции, все еще перевариваю этот кусок.
Хорошо, тогда: если совпадает, значит совпадает. Будет трудно заставить его соответствовать тета-функции в ( − 1 ) н Икс 0 форма, однако.
Тета-функции полезны, если вы хотите изобразить их на графике или рассчитать, так как они значительно сокращают ваши вычислительные ресурсы, но они не являются необходимыми, и это зависит от того, что вы хотите от своего решения. Я суммировал ряд с помощью Mathematica, но вы можете получить его из DLMF 20.2.3 , развернув потому что ⁡ ( 2 н г ) "=" 1 2 ( е 2 я н г + е − 2 я н г ) и массируя свое выражение, чтобы оно соответствовало этой форме. Оказавшись в форме тета-функции, вы получаете полный вес DLMF, чтобы манипулировать им, и любая CAS легко начертит его. Что вы хотите от этого решения?
Этот DLMF — отличный ресурс, о котором полезно знать. Я поиграю с тета-функциями, когда у меня будет шанс. Что касается цели, то это довольно сложно. Я пытаюсь построить симуляцию чего-то в биологии, и это простейший случай. Честно говоря, я не думал, что смогу решить даже эту базовую проблему, но ваш подход настолько элегантен и масштабируем, что я думаю, что у меня есть шанс решить проблему полностью. К счастью, я думаю, что отражающие граничные условия являются оптимальными условиями для моей задачи.

Ответы (2)

Это, наверное, можно решить методом образов, в зависимости от вашей точной постановки задачи. Основная идея состоит в том, чтобы поместить частицы изображения в начальный момент времени в положения, заданные с помощью обращения с вашими непроходимыми границами как с зеркалами; это делает поток вероятности на границе равным нулю.

Чтобы дать более точную формулировку, предположим, что ваша проблема

∂ п ∂ т "=" Д ∂ 2 п ∂ Икс 2  под  ∂ п ∂ Икс ( − л / 2 , т ) "=" 0 "=" ∂ п ∂ Икс ( л / 2 , т )  и  п ( Икс , 0 ) "=" дельта ( Икс ) ,
где я изначально поместил частицу в середину барьеров для простоты, но это можно изменить. Затем решение дается по линейности вашим выражением, суммированным для Икс 0 "=" н л для всех целых чисел н :
п ( Икс , т ) "=" 1 4 π Д т ∑ н "=" − ∞ ∞ е − ( Икс − н л ) 2 4 Д т .
Это можно решить точно в терминах тета-функций Якоби , что значительно ускоряет расчеты и построение графиков, но не обязательно (на первый взгляд) упрощает работу с этим:
п ( Икс , т ) "=" 1 л ϑ 3 ( π Икс л , е − 4 Д π 2 т л 2 ) .
(Для асимметрично расположенных начальных частиц у вас будет два ряда гауссиан, разделенных 2 л , поэтому две тета-функции.)

Я не уверен, что это очень полезно само по себе, но метод изображений очень мощный.

Было также весело брать п ↦ ψ быть волновой функцией. Это заставляет перенормировать, и зависимость этого фактора от Д , если я правильно помню, являются хорошим упражнением для тех, у кого слишком много свободного времени.
Просто комментарий к серийным решениям: я думаю, что ваш пример сходится довольно быстро, но с разными граничными условиями сходимость может быть очень медленной. В этих случаях стоит попробовать теорему суммирования Пуассона . В связанном случае суммирование Пуассона неожиданно привело к ужасному числовому ряду (необходимы тысячи членов) к очень простому аналитическому решению.
Интересно, надо переварить. Что именно означает граница зеркала? Эквивалентно ли это утверждению, что для конкретной траектории частицы частица, которая могла бы пройти расстояние Икс а + Икс б , где Икс а - расстояние до границы, а Икс б это расстояние, которое он мог бы пройти за границу, вместо этого проходит расстояние Икс а − Икс б ?
@ vector07 Да, вот и все. Вы «сворачиваете» все траектории на границе, что означает, что граница имеет вероятность 1 отражения. Для каждой траектории, которая проходит Икс а − Икс б тогда будет одинаково много тех, кто идет как влево, так и вправо, так что точки в середине интервала по-прежнему имеют вероятность 1/2 для правого и левого.
Однако проще переосмыслить «складывание назад» как добавление еще одной зеркальной копии вашего дерева траекторий за «зеркалом» на границе.
@EmilioPisanty Думаю, я понял, это очень помогает. Думаю, я обобщил это на случай, когда начальная позиция где-то между -L/2 и L/2, но не могли бы вы проверить мою работу?
+ Это выглядит как отличный ответ, хотя из-за моей лени я задаюсь вопросом, выходит ли он в каком-то простом известном дистрибутиве, таком как бета-версия.

Ваше решение на самом деле является частным решением одномерного уравнения теплопроводности , ∂ п ∂ т "=" Д ∂ 2 п ∂ Икс 2 , с начальным условием п ( Икс , 0 ) "=" дельта ( Икс − Икс 0 )

Традиционным способом решения этого уравнения является использование ряда Фурье .

См. некоторые решения в 1-D , такие как однородные уравнения или неоднородные уравнения , или другие примеры .

Какова функция плотности вероятности во времени для одномерного случайного блуждания по линии с границами?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v