Процесс типа Орнштейна-Уленбека с дискретным временем

Рассмотрим случайный процесс

Икс т + 1 "=" Икс т + Δ Икс т
где Δ Икс т является гауссианом со средним − λ Икс т Δ т и дисперсия 2 Δ т где λ и Δ т являются параметрами модели.

Затем мы можем записать плотность вероятности перехода как

п ( Икс т + 1 "=" Икс | Икс т "=" у ) "=" 1 4 π Δ т опыт ⁡ [ [ Икс − у ( 1 − λ Δ т ) ] 2 4 Δ т ]

Найдем стационарное распределение этого процесса, которое примет вид

п ∞ ( Икс ) "=" а 2 π е − а Икс 2 / 2
где а зависит от параметров λ и Δ т . Легко видеть, что если мы масштабируем время на Δ т и в пределе Δ т идет к 0 , мы получаем что-то вроде процесса Орнштейна-Уленбека.

Если мы инициализируем процесс в состоянии Икс 0 распределяется как стационарное состояние, а затем хотят т -ступенчатый пропагатор этого процесса, т.е. п ( Икс т "=" Икс | Икс 0 "=" 0 ) , легко видеть, что это также будет гауссиана (поскольку это сумма гауссианов). Но есть ли способ точно вычислить распределение?

Ответы (1)

Таким образом, вы можете начать с пропагатора, соединить их вместе и проинтегрировать по промежуточным значениям, и вы закончите с дискретизированной версией интеграла по путям. Это, однако, довольно утомительно, поэтому давайте вместо этого напишем уравнение стохастической разности:

Δ Икс н "=" − λ Δ т + 2 Δ Вт н
Здесь Δ Вт н являются независимыми гауссовскими приращениями с дисперсией Δ т и значит 0 ; Вт 0 "=" 0 . Обратите внимание, что ∑ н "=" 0 Н − 1 Δ Вт н "=" Вт Н − Вт 0 "=" Вт Н ∼ Н ( 0 , Δ т Н ) поскольку дисперсия является аддитивной. Итак, я думаю, вы можете видеть, к чему мы идем:
Икс Н − Икс 0 "=" ∑ н "=" 0 Н − 1 Δ Икс н "=" ∑ н "=" 0 Н − 1 ( − λ Δ т + 2 Δ Вт н ) "=" − λ Δ т Н + 2 Вт Н
Так Икс Н нормально распределяется со средним Икс 0 − λ Δ т Н и дисперсия 2 Δ т Н .

Ничего из этого не имеет отношения к Орстейну-Уленбеку. Возможно, вместо этого вы хотели сказать:

Δ Икс н "=" − λ Икс н Δ т + 2 Δ Вт н
Это, как и выше, может быть решено так же, как соответствующее СДУ. Начните с более простого: Δ Z н "=" − λ Z н Δ т ⇒ Z н + 1 "=" ( 1 − λ Δ т ) Z н ⇒ Z н "=" ( 1 − λ Δ т ) н Z 0 , поэтому делаем замену Икс н "=" ( 1 − λ Δ т ) н Д н к исходному уравнению и остается:
( 1 − λ Δ т ) н + 1 Д н + 1 − ( 1 − λ Δ т ) н Д н "=" − λ ( 1 − λ Δ т ) н Д н Δ т + 2 Δ Вт н
или перестановка
Δ Д н "=" 2 ( 1 − λ Δ т ) н + 1 Δ Вт н
Таким образом Д Н снова просто сумма нормалей, так что значит Д 0 и дисперсия 2 ∑ н "=" 0 Н − 1 ( 1 ( 1 − λ Δ т ) 2 ) н + 1 Δ т "=" 2 Δ т 1 − ( 1 − λ Δ т ) − 2 Н ( 1 − λ Δ т ) 2 − 1 , и так
Икс Н ∼ Н ( Икс 0 ( 1 − λ Δ т ) Н , 2 Δ т ( 1 − λ Δ т ) 2 Н − 1 ( 1 − λ Δ т ) 2 − 1 )

В заключение немного кода Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = .01
N  = 100
l  = .05
X0 = .75

M = 1000000
res = np.zeros(M) + X0
for _ in range(N):
    res += -l*res*dt + np.sqrt(2*dt) * np.random.randn(M)

yy, xx = np.histogram(res, 128, normed=True)
plt.plot(.5*(xx[1:]+xx[:-1]), yy, 'b')
mu    = X0 * (1-l*dt)**N
sigma = np.sqrt(2*dt*(((1-l*dt)**(2*N)-1) / ((1-l*dt)**2 - 1)))
plt.plot(xx, 1./np.sqrt(2*np.pi*sigma**2)*np.exp(-(xx-mu)**2/(2*sigma**2)), 'r-.')

И графики идут друг над другом:

Численное решение

Вы правы, я не знаю, как я пропустил эту важную часть среднего значения Δ Икс т в зависимости от Икс т .
Есть ли преимущество в рассмотрении 2 Δ Вт н где Δ Вт н имеет дисперсию Δ т над рассмотрением Δ Вт н с дисперсией 2 Δ т ?
@StatisticalMechanic Никаких преимуществ, только условность (броуновское движение определяется с помощью г т масштабирование) и, как таковой, более явным и простым для понимания.
Процесс типа Орнштейна-Уленбека с дискретным временем
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v