Как применить вентиль Адамара?

По определению преобразование Адамара задается матрицей, элементами которой являются

$$(H_n)_{ij} = 2^{-n/2} (-1)^{i\cdot j}$$ где $i\cdot j$является побитовым скалярным произведением двоичных представлений, т.е. количество раз $1,1$появляется на одних и тех же местах (цифрах) как в $i$и $j$. Для случая трех кубитов матрица $$H_3 = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \cdot \begin{pmatrix}\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix}$$ Вы можете умножить эту матрицу на свой вектор, который является столбцом $$\frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,0,0,0,0,0,1)^T$$ и вы получите $$\frac{1}{2} (1,0,0,1,0,1,1,0)^T$$ Мне нужно было только посмотреть на первый и последний столбцы $H_3$. Если бы было две записи $1,1$там результат был $(1/2^{3/2})\cdot (1/\sqrt{2})\times (1+1) = 1/2$в том же ряду; если бы $1,-1$или $-1,1$, результат был $0$в том же ряду. Обратите внимание, что результирующий вектор также имеет единичную норму, $4\times 1^2 / 2^2 = 1$, что гарантируется унитарностью матрицы Адамара.

Преобразование Адамара — это своего рода дискретное преобразование Фурье. Обратите внимание, что у вас было$2$одинаково представленные записи в исходном векторе; не совсем случайно его преобразование Адамара имело$8/2=4$ненулевые записи (с одинаковым абсолютным значением). Здесь,$8$- полная размерность гильбертова пространства и$2$в знаменателе скопировано из второго предложения этого абзаца. Это «обратное соотношение» аналогично соотношению неопределенностей для$\Delta x$и$\Delta p$: чем более «локализован» исходный вектор, тем более «делокализовано» его преобразование Адамара.