Как проанализировать идеальную диодную схему с синусоидальными источниками и накопительными элементами (катушками индуктивности и конденсаторами)?

Именно по этой причине были созданы тренажеры, потому что даже с одним диодом это усложняется.

Рассмотрим случай диода в качестве однополупериодного выпрямителя, управляющего нагрузкой RL (т.е. ваше изображение без D2). Для математического анализа диод должен быть идеальным. Это будет означать, что в течение 1-й половины периода диод закорочен, а цепь отключена во время 2-й половины периода. Но поскольку там есть реактивный элемент, ток не прекратится, когда входное напряжение упадет до нуля. Тогда ток катушки индуктивности будет течь в обратном направлении, смещая диод в прямом направлении.

Но сначала разберем схему без диода: простая серия RL. Уравнения будут такими:

$$L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+R\,i(t)=0$$

с решением:

$$i(t)=i(0)e^{-{L\over R}t}\tag{1}$$

Чтобы решить для$i(t)$:

$$\begin{align} Z&=\sqrt{R^2+\omega^2L^2} \\ L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+R\,i(t)&=V\sin(\omega t) \\ i_{\mathrm{steady}}(t)&={V\over Z}\sin(\omega t-\phi)\tag{2} \\ \phi&=\arctan{{\omega L\over R}} \\ i(0)&={V\over Z}\sin(\phi) \end{align}$$

Таким образом, выражение полного тока будет$(1)$плюс$(2)$:

$$i(t)={V\over Z}\left[\sin(\omega t-\phi)+\sin{\phi}e^{-{R\over L}t}\right]\tag{3}$$

Построив рядом расчетный ток рядом с симуляцией SPICE, они согласились бы:

Если в цепи следует рассматривать диод, то предыдущее уравнение будет справедливо только для первой половины периода плюс часть, где диод смещен в прямом направлении за счет наведенного напряжения. В этот момент ток равен нулю до тех пор, пока не начнется 2-й период, когда цикл продолжится. Ниже показаны осциллограммы для простого RL и для RL+D:

Итак, до сих пор даже с диодом все выглядело так, будто его можно было довольно легко решить аналитически. Но если вы вставите изображение D2с вашей картинки, все усложнится. До сих пор была только часть, когда диод был включен, и когда он был выключен, и это были два состояния, которые можно было разделить и "сшить" для получения нужной формы сигнала. Теперь с двумя диодами есть 4 состояния: D1вкл/выкл и D2вкл/выкл. В каждом из них происходят разные вещи, каждая из которых влияет на следующую:

• в 1-й половине периода ток возрастает согласно выражению$(3)$.
• затем индуцированное напряжение смещает вперед D2, а не D1, которое продолжается до следующего периода, но начинается с того места, где он D1закончился.
• D1снова начинает проводить, но на этот раз нулевых начальных условий больше нет, а это значит, что формы сигналов для двух предыдущих состояний определяют значения начальных условий для каждой из следующих частей.
• и т. д.

Однако остается временное решение,$(1)$, что видно в медленно возрастающем среднем значении суммы двух токов, и решении для тока через D1( I(R1), зеленый), но только для первой половины периода - видно, что формы сигналов совпадают в тот промежуток времени.

Ток через D2также может быть получен (аналогично$(3)$) и рассчитываются, но, как уже упоминалось, начальные условия всегда меняются, пока не будет достигнуто стационарное состояние. Таким образом, каждый следующий полупериод имеет различные решения с начальными условиями, основанными на предыдущих полупериодах.

На данный момент, даже если бы я мог вывести другую формулу (таким же образом, но напряжение имеет смещение), я бы предпочел не делать этого, потому что я надеюсь, что вы понимаете, почему симуляторы используются на этом этапе. И, если вы думаете, что симулятор разбивает схему на формулы, я должен вас разочаровать, потому что он ничего не делает, кроме как составляет матрицу напряжений, токов, сопротивлений, проводимостей, что у вас есть (специфический симулятор), а затем решает это численно . Он понятия не имеет о сложных операторах, фазовращателях и тому подобном. Он просто обрабатывает числа, пока не будет достигнута сходимость, после чего объявляет результат удовлетворительным.