Переводит ли унитарный оператор чистое состояние в чистое состояние или может переводить чистое состояние в смешанное состояние? [закрыто]

Унитарный оператор$U$может принимать только чистое состояние$|\psi \rangle$до чистого состояния. Позволять$U | \psi \rangle = | \psi' \rangle$. Тогда действуя унитарно$U$в чистом виде$| \psi \rangle$урожаи

$$U \left( | \psi \rangle \langle \psi | \right) U^\dagger = | \psi' \rangle \langle \psi' |,$$

что является чистым состоянием.

Другой способ увидеть это состоит в том, что (нормализованная) матрица плотности$\rho$является чистым тогда и только тогда, когда его «чистота»$\mathrm{Tr}\, \rho^2 = 1$. Действуя с унитарным$U$дает новую матрицу плотности с

$$\mathrm{Tr}\, \left[ \left( U \rho U^\dagger \right)^2 \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho U^\dagger U \rho U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho^2 U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 U^\dagger U \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 \right],$$

таким образом, унитарные операторы сохраняют чистоту состояния, а новое состояние чисто тогда и только тогда, когда исходное состояние было чистым. (На самом деле унитарные операторы сохраняют весь спектр собственных значений$\rho$, иногда называемые «весами Шмидта» или «спектром запутанности».)

(Этот простой факт лежит в основе нескольких открытых областей физических исследований. Например, априори не очевидно, как система, изначально находящаяся в чистом состоянии, могла когда-либо термализоваться при (унитарной) временной эволюции Шредингера, поскольку матрица тепловой плотности$e^{-\beta H}/Z$смешивается при конечной температуре. «Гипотеза термализации собственного состояния» пытается решить эту проблему, постулируя, что типичное собственное энергетическое состояние неинтегрируемого гамильтониана «выглядит» как тепловое смешанное состояние для локальных операторов, хотя в целом оно остается чистым состоянием. Другим очевидным противоречием является «информационный парадокс черной дыры»: образование черной дыры в изначально чистом состоянии наивно подразумевало бы, что она эволюционирует в смешанное состояние по мере того, как вы теряете информацию, которая попадает внутрь, но это невозможно. при унитарной временной эволюции.)

Кажется, что под «оператором» вы подразумеваете оператор эволюции времени$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)$где$H$является гамильтонианом квантовой системы, и такой оператор по определению всегда отображает (воздействует) чистое квантовое состояние на другое чистое квантовое состояние. Унитарная эволюция — это то, что происходит всякий раз, когда квантовое измерение не работает. Таким образом, ваше утверждение « Я предполагаю, что унитарный оператор действует только в чистом состоянии » является правильным.

Сказав это, можно считать, что оператор эволюции унитарного времени неявно работает при расчете эволюции смешанного состояния. Концептуально ( т.е. практика другая), чтобы вычислить эволюцию такого состояния, мы вычисляем эволюцию всех чистых состояний в смеси по отдельности. Предположим, у нас есть система смешанных чистых состояний$\psi_k$с вероятностью$p_k$быть в каждом, и мы хотим знать статистику измерения, когда мы сообщаем наблюдаемую$\hat{A}$по истечении времени$t$. Рассчитаем эволюцию в предположении, что система находится в состоянии$k$быть$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k$. Затем посчитаем статистику: условный$n^{th}$момент (при условии, что$k^{th}$чистое состояние) измерения будет

$$M_{n\,k}=\left.\left<\psi_k\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\dagger\right.\right|\hat{A}^n\left|\left.\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k\right>\right.$$

а затем мы суммируем все эти условные моменты, как это делается в классической статистике, чтобы получить общее$n^{th}$момент:

$$M_n=\sum\limits_k p_k\,M_{n\,k}$$

На практике, однако, гораздо проще просто вычислить матрицу плотности $\rho = \sum\limits_k p_k\,|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$, рассчитайте эволюцию этого объекта по уравнению Лиувилля-фон Неймана:

$$i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H,\rho]$$

а затем используйте формулу трассировки, чтобы получить общее$n^{th}$момент из развитой матрицы плотности:

$$M_n = \mathrm{tr}(\rho\,\hat{A}^n)$$

Легко показать, что эти две процедуры эквивалентны.

Помните: несмотря на слегка вводящее в заблуждение название «матрица» (с коннотациями слова «отображение» и «оператор»), матрица плотности записывает смешанное квантовое состояние .

Интересным дополнением является то, что каждое смешанное состояние конечномерной квантовой системы также можно рассматривать как часть чистого состояния («редуцированное чистое состояние») более крупной конечномерной квантовой системы; поищите понятие квантовой очистки для получения дополнительной информации.