Как рассчитать усиление изображения в метрике Шварцшильда?

Это объясняется, например, в Gravitational Lenses Шнайдера, Элерса и Фалько или любом другом стандартном источнике. Опишу результаты.

Первый важный момент заключается в том, что гравитационное линзирование сохраняет поверхностную яркость. Это означает, что линза отклоняет лучи света, но не меняет их энергию, потому что гравитация не является излучателем или поглотителем, и эта статическая ситуация не влияет на частоту фотонов (для далеких источников космологическое красное смещение должно принимать во внимание). Следовательно, если от источника уходит пучок световых лучей, занимающих элемент телесного угла$d\Omega_S$и приходят к наблюдателю под телесным углом$d\Omega_O$, увеличение - это просто отношение площадей:

$$\mu = \frac{d\Omega_O}{d\Omega_S} = \left|\frac{\sin \theta\ d\theta}{\sin \beta\ d\beta}\right| \approx \left|\frac{\theta\ d\theta}{\beta\ d\beta}\right| = \left| \frac{\beta\ d\beta}{\theta\ d\theta}\right| ^{-1}$$

Теперь нам нужно уравнение линзы слабого поля$\beta = \theta - \frac{d_{LS}}{d_{OS}}\alpha$(все количества как на вашей диаграмме). Знаменитое вычисление Эйнштейном угла отклонения$\alpha$дает это$\alpha=4M/r_0$, где$r_0$является либо прицельным параметром, либо расстоянием наибольшего сближения, поскольку в этом приближении они равны. У нас также есть$r_0 = D_{OL}\theta$. Мы можем подставить это в уравнение линзы и решить для$\theta(\beta)$.

Здесь удобно ввести радиус Эйнштейна$\theta_E = \sqrt{\frac{4MD_{LS}}{D_{OS}D_{OL}}}$. Уравнение линзы имеет два решения$\theta = \frac12(\beta \pm \sqrt{\beta^2+4\theta_E^2})$, соответствующие двум изображениям. Теперь нужно взять производные и выполнить некоторую алгебру для вычисления увеличения:

$$\mu = \frac14 \left(\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}} + \frac{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}}{\beta} \pm 2\right)$$

Это расходится, когда$\beta \to 0$(что является пределом слабого линзирования), и в этом режиме оба увеличения приближаются$\theta_E/2\beta$. Суммируя их оба, мы получаем общее увеличение$\mu = \theta_E/\beta$; установка радиуса Шварцшильда$2M$равно$1$, мы получаем ваше выражение.