Как решить «ЭМ волновое уравнение» для поля равномерно движущегося заряда?

Question

Как решить «ЭМ волновое уравнение» для поля равномерно движущегося заряда?

Виталий Коржик

Можно ли показать, что поле равномерно движущегося заряда, соответствующее закону Био-Савара, определяется выражением...

Е (р, т) "=" к д (\frac{1 - в^{2} / с^{2}}{(1 - в^{2} {грех}^{2} θ / с^{2})^{3 / 2}}) (\frac{\hat{р}}{γ^{2} (Икс - в т)^{2} + у^{2} + г^{2}})

${\bf E}({\bf r},t)=kq\left(\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2 \sin^2 \theta/c^2)^{3/2}}\right)\left(\frac{\hat{\bf r}}{\gamma^2(x-vt)^2 +y^2 + z^2}\right)$

... удовлетворяет приведенному ниже уравнению (вдали от самого заряда)?

с^{2} \nabla^{2} Е "=" \frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} Е

$c^2\nabla^2\mathbf E = \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf E$

Редактировать:

Я знаю , что равномерное движение не создает волн. Я также знаю , что это уравнение справедливо только для пустого пространства вдали от зарядов и токов.

Но каким-то образом это уравнение все же должно выполняться для электрического поля, «тянущегося» по инерции за зарядом, движущимся с постоянной скоростью.

Мне очень трудно понять эту мысль. Любые ссылки будут приветствоваться. Я пытался решить напрямую, но не удалось.

Гарип

Вы должны отредактировать свой пост, чтобы было ясно, что вы знаете, что равномерно движущийся заряд не генерирует волну, но поля, по-видимому, должны удовлетворять этому уравнению. Я не знаю ответа (вопрос за голосование), но я отмечаю, что в вашем волновом уравнении нет исходного члена ... возможно, это имеет значение.

Джим

Один из подходов к этому состоял бы в том, чтобы сначала перейти к системе покоя заряда, в которой электрическое поле особенно просто, а именно

E = \frac{q}{4 π ϵ_{0} r^{2}}

$E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$ , где нетрудно показать (поскольку нет производных по времени), затем перейти к системе отсчета, в которой движется заряд, и отметить, что

\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \nabla^{2}

$\frac{\partial^2 }{\partial t^2} + \frac{1}{c^2}\nabla^2$ является инвариантным, см., например, Purcell, Electricity and Magnetism .

Виталий Коржик

Привет, @jim, правильно ли говорить, что так называемое «уравнение электромагнитной волны» имеет явно неволновые решения (например, поле, движущееся по инерции)? Почему оно все-таки называется волновым уравнением?

Джим

@VitalyKorzhik Я думаю, что, поскольку уравнение ЭМ может принимать волнообразные решения, оно называется волновым уравнением ЭМ . Когда вы смотрите на уравнения, не зависящие от времени, не делается особого различия. Кроме того, у вас могут быть решения, зависящие от времени, которые не обязательно должны быть синусоидальными, которые люди обычно рассматривают как волну.

Виталий Коржик

@jim Есть ли какая-то очевидная причина, по которой функция поля не удовлетворит

v^{2} \nabla^{2} E = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} E

$v^2\nabla^2\mathbf E = \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf E$ (с

v

$v$ вместо

c

$c$ )? Потому что это не может удовлетворить обоих одновременно. Вероятно, это как-то связано с преобразованием Лоренца...

Джим

Да, преобразование Лоренца означает, что только когда

v = c

$v=c$ является инвариантом волнового уравнения. Другой способ думать об этом - для

v < c

$v \lt c$ можно было бы перейти к кадру, где

v = 0

$v=0$ это означает, что вы можете увеличить кадр, где электромагнитные волны будут статичными. Следующий вопрос и ответ могут представлять интерес: physics.stackexchange.com/questions/248499/…

Ответы (1)

Как решить «ЭМ волновое уравнение» для поля равномерно движущегося заряда?

Вы должны отредактировать свой пост, чтобы было ясно, что вы знаете, что равномерно движущийся заряд не генерирует волну, но поля, по-видимому, должны удовлетворять этому уравнению. Я не знаю ответа (вопрос за голосование), но я отмечаю, что в вашем волновом уравнении нет исходного члена ... возможно, это имеет значение.
Один из подходов к этому состоял бы в том, чтобы сначала перейти к системе покоя заряда, в которой электрическое поле особенно просто, а именно $E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$ , где нетрудно показать (поскольку нет производных по времени), затем перейти к системе отсчета, в которой движется заряд, и отметить, что $\frac{\partial^2 }{\partial t^2} + \frac{1}{c^2}\nabla^2$ является инвариантным, см., например, Purcell, Electricity and Magnetism .
Привет, @jim, правильно ли говорить, что так называемое «уравнение электромагнитной волны» имеет явно неволновые решения (например, поле, движущееся по инерции)? Почему оно все-таки называется волновым уравнением?
@VitalyKorzhik Я думаю, что, поскольку уравнение ЭМ может принимать волнообразные решения, оно называется волновым уравнением ЭМ . Когда вы смотрите на уравнения, не зависящие от времени, не делается особого различия. Кроме того, у вас могут быть решения, зависящие от времени, которые не обязательно должны быть синусоидальными, которые люди обычно рассматривают как волну.
@jim Есть ли какая-то очевидная причина, по которой функция поля не удовлетворит $v^2\nabla^2\mathbf E = \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf E$ (с $v$ вместо $c$ )? Потому что это не может удовлетворить обоих одновременно. Вероятно, это как-то связано с преобразованием Лоренца...
Да, преобразование Лоренца означает, что только когда $v=c$ является инвариантом волнового уравнения. Другой способ думать об этом - для $v \lt c$ можно было бы перейти к кадру, где $v=0$ это означает, что вы можете увеличить кадр, где электромагнитные волны будут статичными. Следующий вопрос и ответ могут представлять интерес: physics.stackexchange.com/questions/248499/…

Гарип · Answer 1

Люди не понимают вашего вопроса. Я думаю, вы хотите, чтобы кто-то явно проверил, что поля, создаваемые в вашем частном случае, подчиняются (или не подчиняются) общепринятому волновому уравнению. Ведь создаваемое поле не похоже на волну. Общее решение волнового уравнения для возмущения, бегущего в $x$ направление ${\bf{E}}({\bf r},t)= {\bf E_0}(x-ct, y, z)$ . Так что я полагаю

Е (р, т) "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{д}{[(Икс - с т)^{2} + у^{2} + г^{2}]} \hat{р}

${\bf E}({\bf r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\left[(x-ct)^2 +y^2 + z^2\right]}{\bf\hat{r}}$ (где

\hat{r}

${\bf\hat{r}}$ точки от заряда в любой момент) является решением волнового уравнения.

Очевидно, это хорошо только для нерелятивистских скоростей. И мои обозначения для единичного вектора не очень хороши ... Я надеюсь, что это имеет смысл.

Комментарий

Я вижу, что вы отредактировали свой вопрос, включив в него явное выражение релятивистского выражения для поля. Я думаю, ясно, что то, что я сделал для нерелятивистского случая, работает так же хорошо и для релятивистского случая.

Я удалил этот комментарий и добавил его в свой ответ.
Я добавил зависимость от времени явно в соответствии с вашими предложениями, надеюсь, это выглядит правильно. Я думаю, релятивистскую часть можно игнорировать для простоты @Mathaholic
Это почти правильно ... вы не определяете ${\bf \hat{r}}$ , и я тоже. При правильном определении ${\bf \hat{r}}$ , я думаю то что вы написали явно решение волнового уравнения!
Проблема в том, что у меня есть $v$ вместо $c$ в моем уравнении, поэтому я не понимаю, как это решает уравнение Максвелла с $c$ в этом. Можно немного уточнить?
Ага. Я знал, что это выглядело слишком просто. :)

Как решить «ЭМ волновое уравнение» для поля равномерно движущегося заряда?

Виталий Коржик

Гарип

Джим

Виталий Коржик

Джим

Виталий Коржик

Джим

Ответы (1)

Гарип

Гарип

Виталий Коржик

Гарип

Виталий Коржик

Гарип

Как можно осмысленно сказать, что одно поле порождает другое в ЭМ-волне?

Как мы можем сказать, что изменяющееся во времени электрическое поле индуцирует изменяющееся во времени магнитное поле?

Электромагнитные волны, создаваемые синусоидальным током

Могут ли уравнения Максвелла объяснить эмиссию электромагнитного излучения в атоме?

Каковы экспериментальные доказательства того, что свет является электромагнитной волной?

Причинно-следственные связи в решениях уравнений Максвелла

Точно ли уравнения Максвелла предсказывают скорость света?

Если уравнения Максвелла связывают поля в одной и той же точке, то как волны могут распространяться между разными точками?

Почему поля EE\mathbf E и BB\mathbf B электромагнитной волны взаимно перпендикулярны?

В чем смысл этой шутки про "да будет свет"?