Почему поля EE\mathbf E и BB\mathbf B электромагнитной волны взаимно перпендикулярны?

Они не. Существует множество ситуаций, когда$\mathbf E$и$\mathbf B$поля не ортогональны друг другу или (где последнее вообще может быть определено) волновому вектору$\mathbf k$. Известные примеры включают сильно сфокусированные гауссовы пучки, волноводы и сферические волны, но достаточно легко (и хорошее упражнение) приготовить примеры, используя суперпозиции двух разных плоских волн.

С другой стороны, с «моральной» точки зрения, т. е. в определенно ручном волнообразном смысле, свойство очень часто по-прежнему в основном сохраняется, в том смысле, что если ваше поле выглядит достаточно похожим на плоскую волну, чтобы иметь достаточно четко определенное распространение направлении, по крайней мере, внутри некоторой ограниченной области, то электрические и магнитные поля часто будут в основном ортогональны друг другу и направлению распространения. Однако строгий результат в этом направлении не может быть показан - единственные жесткие нули приходятся на уровень PDE уравнений Максвелла.

---

Что верно , так это то, что если у вас есть плоская волна с пространственной и временной зависимостью

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{and} \quad \mathbf B(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf B_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{},$$ то оператор набла можно заменить как $\nabla \mapsto i\mathbf k$, потому что $$\nabla\cdot \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[i\mathbf k \cdot \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{and} \quad \nabla\times \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[i\mathbf k\times \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{},$$ (где $\mathbf C=\mathbf E,\mathbf B$); аналогично производные по времени можно заменить через $\frac{\partial}{\partial t} \mapsto -i\omega$. Отсюда можно восстановить уравнения Максвелла в вакууме в виде $$\begin{align} i\mathbf k \cdot \mathbf E_0 & = 0 &&& i\mathbf k \cdot \mathbf B_0 & = 0 \\ i\mathbf k \times\mathbf E_0 & = i\omega \mathbf B_0 &&& i\mathbf k \times\mathbf B_0 & = -\frac{i\omega}{c^2} \mathbf E_0. \end{align}$$ Тогда они прямо означают, что $(\mathbf E_0,\mathbf B_0,\mathbf k)$являются правосторонней ортогональной триадой.

Но опять же, как отмечалось выше: это свойство и его доказательство строго справедливы только для плоских волн.

Есть много ситуаций, в которых может существовать продольный компонент E или B. Мы привыкли думать о плоских волнах в вакууме. Но плоских волн в природе не существует. Например, если вы попытаетесь сформировать конечную балку, вы обнаружите, что небольшая продольная составляющая существует даже в свободном пространстве. А в волноводах легко вычислить и визуализировать продольную составляющую Е или В. Но если предположить плоские волны в вакууме, то$\nabla \times B$пропорциональна$k \times B$и аналогично для E. Подставьте их в 2 уравнения ротора Максвелла, и вы получите ортогональную тройку после времени преобразования Фурье.

Добавлено . Вот несколько ссылок на работы, показывающие примеры продольных полей в конечных лучах в свободном пространстве. Пучок с неравномерным поперечным профилем интенсивности обязательно имеет продольную составляющую. В других случаях продольные компоненты вызваны фокусировкой или коллимацией.

• Вклад продольного электрического поля гауссова пучка в генерацию второй гармоники. С.Р. Мишра и К.С. Рустаги. Опц. коммун. 74 , 419 (1990)

• Гауссовы лазерные лучи с радиальной поляризацией . КТ Макдональд (2000)

• Графическое исследование мод пучка Лагерра-Гаусса. Р.К. Арора и З. Лу. IEE Proc.-Microw. Антенны Распространение. 141 , 145 (1994)

Быстрый поиск в гугле выдаст гораздо больше. Эффект широко используется в лазерной физике.

Для одиночной монохроматической плоской волны в электрически нейтральной однородной среде$\vec{E}=\partial_t \vec{A}$и$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$перпендикулярны.

В общем случае, например, для суперпозиции таких волн это неверно.

Я думаю, что это, наверное, уже спросили. Однако я не мог легко найти его, поэтому я попытаюсь кратко объяснить.

Две основные идеи:

1. Все, что связано с электромагнетизмом, подчиняется уравнениям Максвелла.
2. $\vec{E}$и$\vec{B}$не всегда перпендикулярны, но они перпендикулярны в вакууме и воздухе (что является наиболее частым случаем).

Доказать это можно именно с помощью уравнений Максвелла. Они есть

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Но, если вы находитесь в вакууме, где нет ни заряда, ни тока, то$J=0,\ \rho=0$, и поэтому

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Обратите внимание, что они стали очень похожими для обеих областей.

Отсюда вы можете показать, что оба$E$и$B$удовлетворяют волновому уравнению. ... но волновое уравнение имеет решение плоских волн в вакууме. Для плоской волны у вас все еще есть

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Например, компонент x первого уравнения равен

$$\dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}=-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}$$

а если заменить$\vec{E}=\vec{E_0}e^{i(\omega t - k_x x - k_y y - k_z z)}$, затем,

$$k_y E_z - k_Z E_y = \omega B_x$$

Делая то же самое для остальных компонентов, вы видите, что

$$\vec{s}\times \vec{E} = \frac{\omega}{k} \vec{B}$$

Так$B$перпендикулярно обоим направлениям распространения$\vec{s}$и электрическое поле. Те же результаты можно получить, подставив второе уравнение.

Это следует непосредственно из уравнений Максвелла. Предполагая плосковолновое решение этих уравнений

$$\vec E=\vec E_0 \exp(i\vec k \vec r-i\omega t)\tag 1$$ Закон Гаусса в свободном пространстве становится $$\nabla \vec E=i\vec k ·\vec E=0 \tag 2$$ Это означает, что вектор электрического поля $\vec E$перпендикулярен волновому вектору $\vec k$. С другой стороны, уравнение Фарадея-Максвелла дает $$\nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}=i\vec k \times \vec E=i\omega\vec B \tag 3$$ Это означает, что вектор магнитного поля $\vec B$перпендикулярен как волновому вектору $\vec k$и вектор электрического поля $\vec E$.

Обратите внимание на следующие комментарии: Этот вывод, который$\vec E$,$\vec B$и$\vec k$взаимно перпендикулярны, справедливо только для плоской электромагнитной волны , как указано в предположении первого предложения. Мой ответ не подразумевает и не предполагает, что это соотношение справедливо для всех электромагнитных волн. Есть масса примеров обратного.