Стюарт Шапиро упомянул в своей книге « Размышляя о математике » , что теорема Ловенгейма-Скулема показала «относительность» модели в математике. Что это на самом деле означает? Что означает фраза «релятивизировать оракула»?
РЕДАКТИРОВАТЬ : Чтобы прояснить путаницу, я нашел фразу «относительно оракула» из другого контекста, а НЕ из книги.
У меня нет этой книги, поэтому я не могу знать, что означает фраза «относительно оракула», но я могу объяснить относительность моделей в математике, вытекающую из этой теоремы.
В данной вселенной U теории множеств рассмотрим теорию T и бесконечную модель M теории T. Согласно этой теореме, кардинал M может быть любым бесконечным кардиналом (счетным или несчетным, с точки зрения U).
Теперь давайте изменим точку зрения и рассмотрим вселенную U с системой М внутри нее, снаружи: U — это просто модель теории множеств среди других. Если U — счетная модель теории множеств, то M тоже будет счетной при рассмотрении извне U, даже если оно было несчетным при рассмотрении U.
Теория множеств также допускает модели U, в которых множество N натуральных чисел, которое она содержит, несчетно бесконечно (если смотреть извне). В этом случае М также будет несчетным при взгляде извне (поскольку оно содержит копию этого несчетного N), даже если оно счетно при просмотре U.
Я также написал сайт по основам математики , который содержит эти вопросы.
Относительность модели и относительность оракула — два разных математических понятия, происходящих из разных областей математики. Они не связаны.
Теория может быть представлена в аксиоматической форме. Затем делается попытка построить модель, чтобы показать, что эта теория действительно что-то моделирует. Теперь можно было бы надеяться, что для некоторых теорий существует уникальная модель. Ведь не хочется, несколько моделей обычной арифметики. Например, Аксиомы Пеано моделируют арифметику, причем есть обычная стандартная модель арифметики, но есть и нестандартные модели . В ссылке они полагаются на теорему компактности в логике, чтобы показать это. В другой конструкции используются ультрапроизведения, теперь модель, полученная этим методом, несчетна, но с помощью теоремы Ловенгейма-Скулема можно создавать счетные модели. Таким образом, теорема Ловенгейма-Склема не используется напрямую, чтобы показать, что существует несколько моделей арифметики. На самом деле это шоу с помощью других средств.
Вычисление моделируется моделью Тьюринга (или лямбда-исчислением, которое доказуемо эквивалентно), но оно не может ответить на все вопросы. Прилагается оракул, который дает ответы на определенный класс вопросов, для которых не объясняется ни механизм, ни алгоритм. Например, проблема остановки машины Тьюринга не может быть решена машиной Тьюринга. Можно указать Оракула, который действительно отвечает на эти вопросы.
Существует связь между вычислениями и счетными нестандартными моделями арифметики. Операции сложения и умножения не вычислимы (теорема Тенненбаума).
стойкость