Какие математические понятия реализует компьютер?

Это отличный вопрос. Как конечные, неточные, подверженные ошибкам объекты реального мира, такие как счеты или компьютер, соприкасаются с бесконечным совершенным царством математики?

Попробуйте эту аналогию. Предположим, у вас есть бесконечная группа с a⊙b, определенным для каждой пары элементов. Теперь предположим, что вы берете конечное подмножество S элементов группы и определяете новую операцию ⊗, где a⊗b определяется как a⊙b только тогда, когда a, b и a⊙b являются всеми элементами S, причем a⊗b в противном случае не определено.

Это аналогично компьютеру, который может представлять арифметику только на конечном наборе чисел.

Теперь ⊗ конечно, но это подмножество бесконечного отношения. Если бы паттерн ⊗ был «завершен», мы бы получили ⊙. Даже если компьютер только физически реализует ⊗, мы можем связать ⊗ с ⊙ и сказать, что реализовать ⊗ означает реализовать часть бесконечного ⊙, тем самым «прикасаясь» к бесконечности.

Конечно, реализация ⊗ означает также реализацию части многих других возможных отношений помимо ⊙. Мы могли бы сказать, что ⊗ «касается» бесконечности разными способами, но мы выбираем один конкретный способ, ⊙, представляющий интерес.

Я надеюсь, что это дает немного идеи.

Чтобы сделать его действительно строгим, нам потребуется формальная модель того, чем является физический кремниевый компьютер как часть большей физической вселенной, — некоторый математический формализм для отслеживания внутреннего состояния и положения компьютера по мере того, как вся вселенная изменяется во времени. Тогда нам понадобится какой-то способ отображения физического состояния компьютера в логические, символические состояния и предложения. Сделать все это строго - сложная задача, и я не знаю, решена ли она.

Частичный ответ: Компьютер не реализует математические, экономические или любые другие концепции . Именно наш разум придает входным и выходным символам математический или экономический смысл. Например, ваши деньги в банке просто представлены намагниченной поверхностью нанометрового размера. Реализуют ли компьютеры экономическую концепцию в таком физическом факте? Конечно, нет.

Относительно инструмента:

Вы можете использовать любой инструмент для представления математических понятий. Например, вы можете использовать воду для математического сложения: если вы наберете 100 чашек воды, поместите их в бассейн и добавите еще 200 чашек воды, что вы получите? Куча воды. Чтобы понять результат, его нужно разделить, причем быстро, иначе вода испарится, может стечь и т. д. И нужно быть очень точным, иначе легко можно получить больше или меньше 300 стаканов воды.

Итак, с водой вы не получите точных ответов. Итак, вы можете попробовать камни. Вот это будет точнее. Но таскать камни непросто. Итак, вы можете использовать счеты. Но выполнение тысяч операций — это медленно. Наконец, мы обнаружили, что лучшим инструментом для выполнения операций, представляющих экономические или математические концепции, является компьютер.

Что касается математических понятий:

Теперь, возможно, ключевой вопрос заключается в следующем: как математические или экономические концепции связаны с компьютером ?

Компьютер, как куча камней, бассейн с водой или счеты, — это всего лишь система, то есть группа взаимосвязанных частей с входами и выходами. Обычно системы считаются черными ящиками , то есть сущностями, которые нам не нужно понимать изнутри. Нам просто нужно понять, как взаимодействовать с системами (черными ящиками) посредством их входов и выходов.

Очевидно, вы не можете вылить 100 чашек воды на клавиатуру компьютера и ожидать, что система зарегистрирует представление целого числа 100. И вы не можете ожидать, что принтер выдаст 300 чашек воды. Но вы можете научиться взаимодействовать с системой, как при первом использовании новой кофемашины в офисе. Положите сюда монету, выберите кофе с помощью этой кнопки, слегка нажмите, если она застряла, и вуаля кофе.

С компьютерами мы разработали типичный язык, который подразумевает: как дать понятия или значения представлению; как подавать их на компьютер через входы; как получить выходные данные и как придать выходным символам концептуальное значение. Как видите, компьютер не реализует математические концепции. Он просто выполняет вычисления, которые дают наборы битов, представленных в той или иной форме.

С компьютером или счетами вы можете выполнять операции, если вы и только вы знаете, как представить ваши субъективные понятия в вычислительных терминах. Сможете ли вы получить квадратный корень любви, рассчитать его рыночную стоимость в биткойнах и перевести на банковский счет? Вам решать.

За исключением компьютерной тематики, любое понятие в мозгу может быть представлено символами. Я могу представить семь долларов семью камнями и произвести с ними математические операции. Я могу изобразить бесконечность или даже пустую группу с камешком. Проблема здесь заключается в правильном использовании символов и понятий. И это другой предмет: математика.

Математика имеет именно такую ​​цель. Ключевая информация: математика — это язык и инструмент . Язык, позволяющий представлять математические понятия, и инструмент, позволяющий обрабатывать такие понятия и получать результаты. Когда вы используете счеты, вы используете бусины для представления математических понятий (в простейшем случае, положительных целых чисел) и выполнения математических операций (математика также является инструментом), перемещая бусины по определенным правилам.

Полный ответ на ваш вопрос:

компьютер не реализует математические концепции, он просто позволяет взаимодействовать посредством своих входов и выходов на математическом языке . То же самое для экономики, электроники, химии или чего-то еще.

В вашем примере Wolfram предоставляет механизм для использования математического языка в компьютере ( математика — это язык ), при переводе субъективно-человеческих (см. комментарий о субъективности) математических понятий в компьютерные процессы ( математика — это тоже инструмент ).