Какие философские моменты подтверждаются в дебатах между ZFC и ZF?

Или, вернее, почему некоторые люди яростно отвергают аксиому выбора?

Меня это интересует с точки зрения философии вычислений. Интуитивно, из того немногого, что я знаю, кажется, что люди тайком проносят свои интуитивные представления о вычислениях, когда отвергают лемму Цорна. Я хотел бы иметь гораздо более четкое представление о том, что говорит каждая сторона.

В математическом сообществе существует широкий (положительный) консенсус относительно переменного тока. Для исторического обзора см. GHMoore, Zermelo's Axiom of Choice: its Origins, Development, and Influence .
Также полезно: Аксиома выбора .
Принятие леммы Цорна в равной степени означает тайное проникновение интуитивных представлений о конечных множествах. Большинство математиков «принимают» его в том смысле, что он удобен, а не в том смысле, что они находят его интуитивно самоочевидным или хотя бы отдаленно убедительным. После лебеговских неизмеримых множеств и парадокса Банаха-Тарского почти никто так не считает. Но только некоторые из них являются пуристами и имеют более высокие философские сомнения, например, интуитивисты и конструктивисты. Для них неинтуитивное, даже частичное (через построение), означает, что с ним покончено.

Ответы (1)

Одной из причин отказа от АС является то, что он математический конструктивист: Дьяконеску показал, что АС подразумевает исключенное среднее (EM), и использование любого из них для получения результатов, которые просто утверждают, что «должно существовать X», а не «вот как построить X». " неприемлемы с конструктивной точки зрения.

Еще одна причина, по которой люди отвергают AC, заключается в том, что он может давать «противоречивые интуиции» результаты, такие как парадокс Банаха-Тарского или множество Витали . Но ¬AC также может давать «противоречивые интуиции» результаты, например, что действительные числа представляют собой счетное объединение счетных множеств .

В более широком смысле существуют и другие доступные формы выбора, такие как Зависимый Выбор (DC), который может позволить избежать некоторых последствий AC, не теряя «слишком много» силы для доказательства определенных вещей.

Какие философские моменты подтверждаются в дебатах между ZFC и ZF?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v