топологическая энтропия запутанности для проколотого тора и сферы

В отсутствие какого-либо ответа, позвольте мне попытаться дать быстрый ответ.

Меня немного смущает, почему вы говорите, что энтропия топологической запутанности (TEE) обычно рассчитывается на поверхностях с границами. Вы можете, и я думаю, что это обычно делается, вычислить его на компактных многообразиях. Граница всегда будет присутствовать, так как вам нужно разделить многообразие на две части, чтобы вычислить энтропию запутанности (EE). Если бы вы на самом деле рассчитывали многообразие с границей, то наличие степеней свободы на границе без зазоров могло бы создать некоторые проблемы при извлечении ТРЭ. Попробую кратко описать, что происходит в разных ситуациях.

Предположим, вы помещаете систему с щелью над основным состоянием на (либо компактное, либо некомпактное без границы) двумерное многообразие.$\mathcal M$, а потом вырезать$\mathcal M$на два стягиваемых подмногообразия$\mathcal A$и$\mathcal B$. Учитывая приведенную матрицу плотности основного состояния в подсистеме$\mathcal A$,$\rho_\mathcal A$(данные путем отслеживания информации в$\mathcal B$), энтропия запутанности определяется выражением$S_\mathcal A = -\text{tr}\left(\rho_\mathcal A\log\rho_\mathcal A\right)$. Как показали Прескилл-Китаев и Левин-Вен (как вы цитируете), ЭЭ имеет следующий вид

$$S_\mathcal A = \alpha L_\mathcal A - \gamma + \dots,$$ где $\alpha$неуниверсальное число, $L_\mathcal A$это граничная область $\partial\mathcal A$, и ' $\dots$' - термы, обращающиеся в нуль в пределе $L\rightarrow\infty$. Часть констант, $\gamma$, является универсальным и то, что мы называем TEE. Он определяется чисто топологическими данными $$\gamma = \log\mathcal D =\log\sqrt{\sum_id^2_i},$$ где $d_i$квантовая размерность $i$топологическая квазичастица и $\mathcal D$является полной квантовой размерностью. Если это вычисление сделать в пределе чисто топологической теории поля в инфракрасном диапазоне, то выживет только топологический кусок. Если вместо этого вычислить энтропию Реньи, $S^n_\mathcal A = \frac 1{1-n}\log\left({\text{tr}\rho^n_\mathcal A}\right) = \alpha_n L_\mathcal A - \gamma +\dots$, то топологический кусок не будет зависеть от $n$и никакой новой информации не получено.

1. Это все стандартная история, о которой говорится в документах, которые вы цитируете. Можно спросить, что произойдет, если двудольное деление не является стягиваемым? Например, скажите$\mathcal M=T^2$является 2-тором, и вы делаете такой разрез, что$\mathcal A$не является односвязным (см. рис. 1 ссылки 1 ). В этом случае оказывается, что топологический кусок,$\gamma_n'$, в энтропии Реньи $$S^n_\mathcal A = \alpha_nL_\mathcal A - \gamma_n' + \dots,$$ кроме того$\gamma = \log\mathcal D$, зависит от$n$и коэффициенты$c_j$основного состояния в специальном базисе$|\Phi\rangle = \sum_jc_j|\Theta_j\rangle$. Подробную формулу см. в уравнении (2) в ссылке 1 и уравнении (2.38) в ссылке. 2 . Базовые состояния$|\Theta_i\rangle$называются состояниями минимальной энтропии (MES), подробное определение см. в 1 .
2. Теперь, что произойдет, если$\mathcal M$это пробитый коллектор? При задании соответствующих граничных условий эти проколы по существу соответствуют квазичастицам. Таким образом, в данном случае мы вычисляем энтропию запутанности при наличии возбуждений. Здесь оказывается, что в зависимости от конкретного разбиения результат будет зависеть от различных составляющих топологической$\mathcal S$-матрица. Это означает, что таким образом мы можем извлечь гораздо больше топологической информации о лежащей в основе TQFT, чем просто общее квантовое измерение. Подробнее см. в разделе 3 из 2 .

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: В комментариях Хамураби задает интересный вопрос о том, что происходит в более высоких измерениях. Позвольте мне кратко упомянуть предложение ссылки 4 :

При некоторых общих предположениях можно записать EE (фон Неймана) как сумму двух частей

$$S_\mathcal A = S_{\mathcal A,local} + S_{\mathcal A,topological},$$

где первый член зависит от локальной информации системы, а второй кодирует глобальную топологическую часть запутанности. Они утверждают, что локальный кусок в размерности$D$имеет следующее расширение

$$S_{\mathcal A,local} = \alpha_1L_\mathcal A ^{D-1} + \alpha_3L_\mathcal A^{D-3}+\alpha_5L_\mathcal A^{D-5} + \dots,$$ где все $\alpha_i$не универсальны. Обратите внимание, что в $D$даже, $S_{\mathcal A,local}$не имеет постоянной части и любой постоянной части $S_\mathcal A$поэтому должен быть топологическим (как в $D=2$). Для $D$странно, однако, может быть нетопологическая постоянная часть, и поэтому ее немного сложнее извлечь $S_{\mathcal A,topological}$. Они предлагают (и проверяют на нескольких примерах) следующую общую форму TEE

$$S_{\mathcal A,topological} = \begin{cases}-\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 - \dots -\gamma_{\frac D2-1}b_{\frac D2-1}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is even},\\ -\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 + \dots -\gamma_{\frac {D-3}2}b_{\frac {D-3}2}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is odd}, \end{cases}$$ где $b_i$это $i$'th число Бетти многообразия $\partial A$. Например, общее выражение в $D=2$является $S_\mathcal A = \alpha_1 L_\mathcal A - b_0\gamma_0$, где нулевое число Бетти $b_0$просто подсчитывает количество подключенных компонентов $\partial A$. Обратите внимание, что для $D=2,3$есть только один тип TEE, а в более высоких измерениях их несколько!

---

Использованная литература:

[1] Чжан и др., Статистика квазичастиц и плетение из физики запутанности основного состояния. B 85, ​​235151 (2012 г. ), архив: 1111.2342

[2] Донг и др., Топологическая энтропия запутанности в теориях Черна-Саймонса и квантовых жидкостях Холла JHEP05(2008)016 , arXiv:0802.3231

[ 3 ] Хиками, Теория скейна и топологические квантовые регистры: матрицы плетения и энтропия топологической запутанности неабелевых квантовых холловских состояний arXiv:0709.2409

[4] Гровер и др., Энтропия запутанности фаз с промежутками и топологический порядок в трех измерениях Phys. B 84, 195120 (2011) , архив: 1108.4038

Здесь я хотел бы остановиться на возможных сложностях многообразия с границей, таких как проколы на многообразии. Первое, что нужно спросить, являются ли граничные состояния без промежутков или с промежутками. Ситуация может быть разной. Здесь позвольте мне сказать кое-что о случае с пропущенной границей. Недавно было изучено:

• с использованием языка тензорных категорий в топологическом порядке с пропущенными границами (т.е. краевые состояния пропущены) А. Китаева и Л. Конга 1104.5047 .

• используя топологическую КТП (ТКТП), чтобы понять свойство топологического порядка с промежутками между границами. Такие J.Wang и XGWen 1212.4863 и A.Kapustin 1306.4254 и ссылка в них.

Как обсуждалось Хейдаром и Хамураби, энтропия топологической запутанности (TEE)$S_{TEE}=-\log D$. Но более явно мы можем написать, по крайней мере, для абелева топологического порядка,

$$D=e^{-S_{TEE}}= \text{quantum dimension of the system}\\ = \text{number of quasiparticle types of the system}\\ =\text{ground state degeneracy(GSD) of the system on a $T^2$ torus}$$

Это говорит нам$D$связано с вырождением основного состояния (GSD) системы на торе. Существует некоторая интуитивно понятная картина с использованием струнной сети или линии Вильсона (линейный оператор) квазичастиц (анионов) для подсчета этого GSD, таким образом, TEE. Может возникнуть вопрос , может ли ОСД топологического порядка зависеть от многообразия с защепленными границами?

Ответ абсолютный да. Возьмем сферу с двумя проколами. Найдено в 1212.4863 ,$Z_2$торический($Z_2$калибровочной теории) код имеет GSD=2 или GSD=1 в зависимости от типа границ с промежутками, в то время как$Z_2$удвоенные семионы (твист$Z_2$калибровочная теория) имеет GSD=2 независимо от типа границ с зазорами. Можно снова использовать струнную сеть или линию Уилсона anyons для подсчета GSD, как описано в 1212.4863 .

Таким образом, вы задаетесь вопросом , повлияет ли это свойство GSD на TEE для коллектора с зазорами на границах?

Мы не были бы слишком удивлены, если бы такая возможность действительно существовала.

пс. На самом деле, несколько месяцев назад у меня были некоторые мысли о разработке топологической энтропии запутанности для таких общих случаев, как многообразие с границами без зазоров/зазоров и проколами.