Как узнать, какой тип калибровочного поля добавить в теорию?

Question

Как узнать, какой тип калибровочного поля добавить в теорию?

Натан Рид

Я смотрел лекции Леонарда Сасскинда по физике элементарных частиц , и в одной из лекций он обсуждает очень простую калибровочную теорию. У нас есть комплексное скалярное поле $\phi(x)$ с лагранжианом

л "=" \partial_{мю} ф^{*} \partial^{мю} ф - В (ф^{*} ф)

$\mathscr{L} = \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi - V(\phi^* \phi)$

и мы хотим сделать калибровочное преобразование $\phi(x) \to e^{i\theta(x)} \phi(x)$ . Но производный член в лагранжиане не инвариантен, если $\theta$ варьируется от места к месту, поэтому мы добавляем новое векторное поле $A_\mu$ и определите его для преобразования, как

А_{мю} \to А_{мю} + \partial_{мю} θ

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \theta$ при калибровочном преобразовании. Затем мы меняем лагранжиан, чтобы использовать ковариантные производные

D_{μ} = \partial_{μ} + i A_{μ}

$D_\mu = \partial_\mu + iA_\mu$ вместо обычных; теперь, когда калибровочное преобразование выполнено, все производные

θ

$\theta$ сокращаются, и результат остается инвариантным.

Мой вопрос: была ли какая-то свобода в выборе добавления векторного поля с этим конкретным законом калибровочного преобразования? Есть ли какие-то другие способы добиться здесь калибровочной инвариантности — используя другой закон преобразования или другой тип поля (скажем, скалярное, тензорное или спинорное) с каким-то другим законом преобразования?

В более общем смысле, как мы можем сказать, какой тип поля необходим и каким должен быть закон его калибровочного преобразования, чтобы какой-то конкретный лагранжиан был инвариантным относительно некоторого конкретного калибровочного преобразования?

Любопытный Разум

Связанный: физика.stackexchange.com/q /100578/50583

Ответы (1)

Как узнать, какой тип калибровочного поля добавить в теорию?

Связанный: физика.stackexchange.com/q /100578/50583

Любопытный Разум · Answer 1

У нас нет выбора.

Позволять $G$ быть нашей калибровочной группой и $\Sigma$ наше пространство-время. Тогда, чтобы теория действительно была калибровочно-инвариантной, каждое поле должно иметь на себе определенное действие калибровочной группы, т. е. каждое поле должно преобразовываться в представление этой группы:

ф : Σ \to В_{р} где имеется групповой морфизм р : г \to г л (В_{р})

$\phi : \Sigma \to V_\rho \text{ where there is a group morphism } \rho : G \to \mathrm{GL}(V_\rho)$

Нам нужна производная $\mathrm{d}_A : \Omega^k(\Sigma) \to \Omega^{k+1}(\Sigma)$ действующие на поля (в более общем случае на $k$ -формы, производящие $k+1$ -формы) такие, что для любого калибровочного преобразования $g : \Sigma \to G$ у нас есть $\mathrm{d}_A(\rho(g)\phi) = \rho(g)\mathrm{d}_A\phi$ , т.е. производная также должна преобразовываться в представлении.

Теперь формы поставляются только с двумя естественными операциями, производящими $k+1$ - формировать из $k$ -form: внешняя производная $\mathrm{d}$ , который с треском проваливается сам по себе, и клин-продукт $k$ - форма с некоторыми $1$ -форма. Поэтому единственным естественным способом поиска внешней производной является

д_{А} ю "=" д ю + А \land ю

$\mathrm{d}_A \omega := \mathrm{d}\omega + A \wedge \omega$

для некоторых $1$ -форма (т.е. двойственное векторное поле) $A$ . Следует подчеркнуть, что, хотя $A$ является, как $1$ -form, действительно (двойственное) векторное поле по отношению к группе Лоренца, оно не преобразуется в правильное линейное представление $G$ , так как его закон преобразования (чтобы групповое действие и производная коммутировали)

А \mapsto г А г^{- 1} + г д г^{- 1}

$A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$

Она называется формой связи и соответствует определенному выбору ортогонального подпространства касательного пространства основного расслоения . Отсюда также видно, что $A$ должны принимать значения в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ (а также потому, что в противном случае приведенный выше закон преобразования не имел бы смысла). Для всех калибровочных теорий этот выбор подпространства (называемый связностью Эресмана ) находится в биекции с выбором $1$ -форма $A$ на связке, которая проецируется до (местного!) $1$ - форма на $\Sigma$ , снова давая векторное поле, которое мы эвристически нашли путем поиска ковариантной производной.

Однако следует отметить, что если мы ослабим наши представления о том, что такое калибровочная теория, то будут существовать «формы связности», которые не являются векторными полями. Лучшим примером (и единственным, который я знаю) являются символы Кристоффеля в ОТО, являющиеся сечениями касательного расслоения расслоения реперов, расслоения струй (в отличие от калибровочных полей, являющихся сечениями касательного расслоения главного расслоение), которые можно рассматривать как формы связности, определяющие связность Леви-Чивиты, аналогичные калибровочным полям, определяющим связность Эресмана.

Я все еще перевариваю это (вы сделали это в более общем виде, чем мне нужно :)), но дайте мне посмотреть, уловил ли я общую идею. Проблема в том, что потому $g$ изменяется в пространстве-времени, производные члены в лагранжиане подхватывают нежелательные производные $\rho(g)$ . Чтобы отменить их, мы должны использовать поле, которое преобразуется под действием группы Лоренца так же, как производные от $\rho(g)$ делать, то есть как двойственный 4-вектор, компоненты которого являются членами $\rho$ представление) алгебры Ли $G$ . Это примерно так?

Как узнать, какой тип калибровочного поля добавить в теорию?

Натан Рид

Любопытный Разум

Ответы (1)

Любопытный Разум

Натан Рид

Любопытный Разум

Есть ли хорошая идея, откуда берутся неабелевы калибровочные симметрии?

Эквивалентна ли эта теория КЭД?

Можем ли мы сделать представление Дирака калибровочной теорией?

Какие именно разделы есть в калибровочных теориях?

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Связь напряженности поля Янга-Миллса с тензором Максвелла в калибровочной теории SU(2)SU(2)SU(2)

Вызывает ли электромагнитное калибровочное преобразование U(1)U(1)U(1) преобразование поля?

Что такое калибровочная теория?

Является ли искусственное калибровочное поле калибровочным полем?

Число обмоток в топологии магнитных монополей