Число обмоток в топологии магнитных монополей

Question

Число обмоток в топологии магнитных монополей

Анонимный

Я читаю о магнитных монополях из разных источников, например. лекции Джеффа Харви. . Это говорит о чем-то, что называется обмоткой $N$ , который используется для расчета магнитного потока. Я искал в Интернете, но не могу понять расчет, сделанный в этом конкретном случае.

$g=-\frac{1}{8}\int_{S^2_\infty} Tr([d\hat{\Phi},d\hat{\Phi}],\hat{\Phi})$

Тогда автор говорит, что

Сейчас $\Phi$ ограничивается картой $\Phi : S_\infty^2 → S^2$ , где целью является единичная сфера в $su(2)$ . Эта карта имеет некоторую степень $N$ , и легко проверить, что правая часть приведенного выше уравнения равна $−2\pi$ раз это. Поэтому $g = −2\pi N$ .

Что $N$ , число обмотки также называется степенью на карте? Из того, что я узнал, это количество раз, когда вы скручиваете один объект с другим, тогда интеграл не должен быть $N*4\pi$ , как $4\pi$ это площадь поверхности $S^2$ .

ср

Я полагаю, что вы работаете с теорией SU(2)-Янга-Миллса-Хиггса, верно? что

\hat{Φ}

$\hat{\Phi}$ ? Является ли это скалярное поле временной составляющей статического калибровочного потенциала Минковского после редукции размерности?

пользователь7757

@JorgeCampos, я работаю с SU(2) yang-mills.

\hat{Φ}

$\hat{\Phi}$ , — угловая часть поля Хиггса. Полное поле Хиггса определяется выражением

Φ = h \hat{Φ}

$\Phi=h\hat{\Phi}$ , где

h

$h$ , является функцией радиального расстояния

r

$r$ , где норма

\hat{Φ} = 1

$\hat{\Phi}=1$ .

Ответы (2)

Число обмоток в топологии магнитных монополей

Я полагаю, что вы работаете с теорией SU(2)-Янга-Миллса-Хиггса, верно? что $\hat{\Phi}$ ? Является ли это скалярное поле временной составляющей статического калибровочного потенциала Минковского после редукции размерности?
@JorgeCampos, я работаю с SU(2) yang-mills. $\hat{\Phi}$ , — угловая часть поля Хиггса. Полное поле Хиггса определяется выражением $\Phi=h\hat{\Phi}$ , где $h$ , является функцией радиального расстояния $r$ , где норма $\hat{\Phi}=1$ .

ср · Answer 1

Я не нашел уравнения и аргумента, который вы цитировали в этой статье. Но, да, это степень Брауэра, град. $(\hat{\Phi})$ , что равно монопольному числу

Н \equiv \frac{1}{4 π} \int_{р^{3}} Т р (Ф_{А} \land Д_{А} (Φ)) "=" \frac{1}{4 π} \int_{р^{3}} д (Т р (Φ) Ф_{А}) "=" \frac{1}{4 π} \int_{С_{\infty}^{2}} Т р (Φ Ф_{А})

$N\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{Tr}(F_A\wedge D_A(\Phi))=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} d(\mathrm{Tr}(\Phi)F_A) =\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr}(\Phi F_A)$

"=" \frac{1}{4 π} \int_{С_{\infty}^{2}} Т р (\hat{Φ} Ф_{А})

$=\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr}(\hat{\Phi} F_A)$

где один использовал тождество Бьянки, теорему Стокса, чтобы получить первые два равенства, а Яффе и Таубс показали в своей книге, что можно заменить $\Phi$ к $\hat{\Phi}$ . Теперь это совпадает со степенью Брауэра, для которой существует явная формула:

Н "=" д е г (\hat{Φ}) "=" - \frac{1}{4 π} \int_{С_{\infty}^{2}} Т р (\hat{Φ} д \hat{Φ} \land д \hat{Φ}) е Z "=" π_{2} (С^{2}) "=" [С^{2}, С^{2}]

$N=\mathrm{deg}(\hat{\Phi})=-\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr(\hat{\Phi} d\hat{\Phi}\wedge d\hat{\Phi}})\in \mathbb{Z}=\pi_2(S^2)=[S^2,S^2]$ (то, что вы написали.) Физически это понимается как потенциал бесконечной стенки, разделяющий монопольные сектора, соответствующие разным целым числам. Теперь, чтобы фактически ответить на ваш вопрос, вы можете вычислить этот интеграл для монопольного решения т'Хофта-Полякова, для которого

\hat{ф} "=" (грех (θ) потому что ф, грех θ грех ф, потому что θ)_{я} \cdot о^{я},

$\hat{\phi}=(\sin(\theta)\cos\phi,\sin\theta \sin\phi,\cos\theta)_i\cdot \sigma^i,$ и вы найдете

Н "=" - \frac{1}{4 π} \int_{С_{\infty}^{2}} Т р (\hat{Φ} д \hat{Φ} \land д \hat{Φ}) "=" + \frac{1}{4 π} \int_{[0, 2 π]} \int_{[0, π]} грех θ д θ \land д ф "=" 1.

$N=-\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr(\hat{\Phi} d\hat{\Phi}\wedge d\hat{\Phi}})=+\frac{1}{4\pi}\int_{[0,2\pi]} \int_{[0,\pi]}\sin\theta d\theta\wedge d\phi=1.$

Я задал этот вопрос именно потому, что я не знаю, что такое степень Брауэра, я не мог понять это из Интернета из-за ссылки на алгебраическую топологию, которую я не изучал. Пожалуйста, не могли бы вы объяснить, что это такое, и как вы пришли к явной формуле броуровской степени.
Я отвечу на это скоро; буду переделывать...

Давид Бар Моше · Answer 2

N равно количеству точек в $S_2$ сфера на бесконечности отображается в одну и ту же точку $S_2$ Вакуумное многообразие Хиггса. Интеграл является топологическим инвариантом, зависящим только от этого числа, а не от деталей карты. Далее я опишу вам семейство этих карт:

Один из способов выполнения интеграла - использовать координату стереографической проекции :

$z = tan(\frac{\theta}{2}) e^{i\phi}$

В этой системе координат карта числа обмоток $N$ будет выглядеть так:

$z \rightarrow Z= z^N$

Элемент поверхности сферы в этих координатах равен:

$d \mu = \frac{dzd\bar{z}}{1+z \bar{z}}$

Примечание. В этих координатах компоненты бозона Хиггса задаются формулой:

$\Phi_x = 2\frac{Re(Z)}{1+Z\bar{Z}}$

$\Phi_y = 2\frac{Im(Z)}{1+Z\bar{Z}}$

$\Phi_z = \frac{1-Z\bar{Z}}{1+Z\bar{Z}}$

Используя эти координаты, нетрудно увидеть, что значение интеграла (1.43) равно N.

Число обмоток в топологии магнитных монополей

Анонимный

ср

пользователь7757

Ответы (2)

ср

пользователь7757

ср

Давид Бар Моше

Связь между обращением в нуль сопряженного импульса π0π0\pi^0 и отсутствием пропагатора для свободного ЭМ поля

Примеры «оценки глобальной симметрии»

Как SCFT позволяет избежать теоремы Хаага-Лопушанского-Сониуса?

Непертурбативные эффекты: классические или квантовые?

Разрыв калибровочной группы через монополь...

Калибровочная фиксация произвольного поля: внешние и внутренние степени свободы

Локальная калибровочная инвариантность лагранжиана Дирака

Подсчет степеней свободы в теориях поля

QED BRST Симметрия

Калибровочные теории магнитных монополей