Аналогия тензорного оператора в классической физике

В квантовой механике тензорные операторы определяются через их коммутацию с операторами сферических компонент углового момента,

$$\begin{aligned} \ [L_3,T(k,q)] &= \hbar q\ T(k,q), \\ [L_\pm,T(k,q)] &= \hbar \alpha^\pm(k,q)\ T(k,q\pm1). \end{aligned}$$ Это можно эквивалентно переписать в декартовых координатах, например, векторный оператор $(V_i)_{i=1}^3$должен удовлетворить $$[L_j, V_k] = i\hbar\ \epsilon_{jkl} V_l.$$ Это лучше тем, что использует только самосопряженные наблюдаемые. Меня интересует, чему это соответствует в классической пуассоновской механике , где аналогичное условие было бы $$\{L_j,V_k\} = \epsilon_{jkl} V_l \label{1}\tag{1}$$ для трех функций фазового пространства $(V_1, V_2, V_3)$. Конечно, все мы знаем, что компоненты положения, импульса или углового момента удовлетворяют этому, но я хочу увидеть общее решение.

То, что я пробовал, это переписать ($\ref{1}$) как

$$\{\epsilon_{jmn}x_mp_n, V_k\} = \epsilon_{jmn}\frac{\partial V_k}{\partial p_m}p_n - \epsilon_{jmn}x_m\frac{\partial V_k}{\partial x_n} = \epsilon_{jkl} V_l,\quad \forall j,$$ умножьте обе части на $j$-я компонента общего вектора нормали $\vec n$и общее смещение $\chi$и интерпретировать левую часть как член первого порядка в разложении Тейлора, $$V_k(x_n - \chi \epsilon_{jmn}n_j x_m, p_m + \chi \epsilon_{jmn}n_j p_n) = V_k(x_n, p_m) + \chi n_j \epsilon_{jkl} V_l(x_n, p_m) + O(\chi^2),$$ где $V_k(x_n,p_m)$это ярлык для $V_k(x_1,x_2,x_3,p_1,p_2,p_3)$, или $V_k(\vec x, \vec p)$. Это можно возвести в степень, чтобы получить $$V_k\big(\exp(-\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} x_m,\,\exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} p_n\big) = \exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{kl} V_l(x_n,p_m).$$ Экспоненты теперь обозначают матрицы вращения относительно $\vec n$под углом $\pm\chi$, $$\exp(\pm \chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} = R(\vec n,\pm \chi)_{mn},$$ поэтому мы получаем, что $\vec V = (V_1, V_2, V_3)$должен удовлетворить $$\vec V(R(\vec n,-\chi)^T \vec x, R(\vec n,\chi)\vec p) = R(\vec n,\chi) \vec V(\vec x, \vec p).$$ Мы также используем ортогональность $R$, $$R(\vec n,-\chi)^T = R(\vec n,-\chi)^{-1} = R(\vec n,\chi) =: R,$$ так $$\vec V(R \vec x, R \vec p) = R \vec V(\vec x, \vec p).$$

Обозначая$\vec{\tilde{x}} = R \vec{x}$и$\vec{\tilde{p}} = R \vec{p}$, мы получаем

$$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = R \vec V(R^{-1} \vec{\tilde{x}}, R^{-1} \vec{\tilde{p}}).$$ Теперь аргументы в правой части $\vec x$, $\vec p$вычислено из $\vec{\tilde{x}}$, $\vec{\tilde{p}}$, подаваемый в непреобразованный $\vec V$, и ковариантно (NB: нет разницы между ковариантным и контравариантным в $SO(3)$) преобразовано в основу тильды. Это в точности полное правило преобразования векторного поля, поэтому правая сторона равна $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}})$, или $$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = \vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}). \label{2}\tag{2}$$ Это означало бы, что функции $(V_k)_{k=1}^3$удовлетворить ( $\ref{1}$) тогда и только тогда, когда обработка их как векторного поля и преобразование в повернутый базис будет таким же, как только вставка преобразованных координат в исходные (непреобразованные) функции или что их функциональная форма инвариантна относительно вращения векторного поля. Это кажется довольно строгим условием, которому удовлетворяют не многие вещи, которые я использовал для вызова векторных полей. Например, возьмем постоянное векторное поле, скажем, $\vec V(\vec r, \vec p) = (0, 0, -g)^T$. В повернутой основе правила преобразования диктуют $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{r}}, \vec{\tilde{p}}) = R\cdot(0,0,-g)^T$, которые в общем случае отличаются тремя константами от $0$, $0$и $-g$. Так ( $\ref{2}$) нарушается, что согласуется с тем, что скобка Пуассона вида ( $\ref{1}$) с константой $V_k$равен нулю, а не $\epsilon_{jkl}V_l$.

Пример$(V_k)_{k=1}$что соответствует($\ref{1}$) — канонические проекции

$$\begin{aligned} V_1(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= x, \\ V_2(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= y, \\ V_3(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= z \\ \end{aligned}$$ (как известно), и действительно, преобразуя радиус-вектор $\vec r = (V_1, V_2, V_3) = (x,y,z)$дает $\vec{\tilde{r}} = (\tilde x, \tilde y, \tilde z)$, компонентами которого являются первые три элемента кортежа $(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z)$, так $$\begin{aligned} \tilde V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde x = V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde y = V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde z = V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) \\ \end{aligned}$$

Таким образом, «классическая наблюдаемая векторная» является чем-то более строгим, чем «векторное поле» над фазовым пространством, требуя, чтобы функции, определяющие его компоненты, оставались неизменными при вращении (или$GL$преобразуется, как можно было бы показать аналогично). Как называются такие специальные векторные поля? Или я что-то упустил в своем выводе?