Эквивалентно ли каноническое преобразование преобразованию, сохраняющему объем и ориентацию?

Мы видели обратное утверждение: теорема Лиовиля утверждает, что канонические преобразования сохраняют объем (а также ориентацию). Верно ли обратное? Если я требую отображения фазового пространства в фазовое пространство для сохранения объема, обязательно ли это каноническое преобразование? Контрпримера привести не смог, поэтому и спрашиваю.

Ответы (3)

В измерении 2 н > 2 они не эквивалентны, поскольку (для не зависящих от времени преобразований) канонический эквивалентен

(1) ∑ к знак равно 1 н г д к ∧ г п к знак равно ∑ к знак равно 1 н г Вопрос к ∧ г п к
тогда как сохранение ориентированного объема означает
(2) г д 1 ∧ ⋯ ∧ г д н ∧ г п 1 ⋯ ∧ г п н знак равно г Вопрос 1 ∧ ⋯ ∧ г Вопрос н ∧ г п 1 ⋯ ∧ г п н .
Первый гораздо более ограничительный. Последнее требует только, чтобы матрица Якоби имела определитель 1 . Уже с 4 × 4 матрицы есть легкие контрпримеры.

Вопрос 1 знак равно а д 1 ,

Вопрос 2 знак равно б д 2 ,

п 1 знак равно б − 1 п 1 ,

п 2 знак равно а − 1 п 2

где координаты закончились р 4 и с константами а , б > 0 удовлетворяющий а ≠ б . Это преобразование удовлетворяет (2), но не (1).

Вместо этого для 2 н знак равно 2 , (1) и (2), очевидно, эквивалентны.

Достаточно ли вашего условия (1) или вам нужно включить все инварианты Лиувилля?
Условие (1) утверждает, что симплектическая форма инвариантна относительно преобразования координат. Для не зависящих от времени преобразований это равносильно каноничности преобразования.
Извините, если мой вопрос был неясен. Ваше уравнение (1) является одним условием для одного инварианта. Существуют и другие инварианты, такие как ∑ я ≠ к г Вопрос я ∧ г п я ∧ г Вопрос к ∧ г п к которые должны быть сохранены каноническими преобразованиями. Является ли одно условие, содержащееся в вашем (1), необходимым и достаточным, или нам также нужно показать, что ∑ я ≠ к г Вопрос я ∧ г п я ∧ г Вопрос к ∧ г п к а все остальные инварианты Лиувилля более высокого порядка сохраняются отдельно?
Я не понимаю: преобразование, не зависящее от времени, канонично тогда и только тогда , когда оно удовлетворяет (1). Если канонические преобразования сохраняют другие формы, то, очевидно, (1) является достаточным условием для этих дальнейших результатов сохранения.
Я не знал, что (1) было необходимо и достаточно. Я думал, что это просто необходимо, и что также требуется, чтобы CT сохранял все остальные инварианты Лиувилля. Кажется странным, что условия только для одного инварианта должно быть достаточно, но я поверю вам на слово, хотя я буду исследовать больше.
В литературе также много неэквивалентных условий (и неправильных утверждений), см. Ответ @Qmechanic physics.stackexchange.com/q/105613 для хорошего резюме. В случае преобразований, не зависящих от времени, (1) является одним из возможных эквивалентных определений. Общий случай обрабатывается с помощью так называемой 1-формы Пуанкаре-Картана...

  1. Контрпример: трансформация

    Вопрос 1   знак равно   2 д 1 , п 1   знак равно   п 1 , Вопрос 2   знак равно   1 2 д 2 , п 2   знак равно   п 2
    сохраняет объем и ориентацию фазового пространства, но не является симплектоморфизмом . 1

  2. Для двумерного фазового пространства форма объема канонического фазового пространства

    Ом   знак равно   1 н ! ю ∧ н
    является симплектической 2-формой ю сам по себе, так что преобразования, сохраняющие ориентацию и объем, являются симплектоморфизмами.

--

1 Здесь мы будем предполагать, что ОП определяет каноническое преобразование (КТ) как симплектоморфизм. Имейте в виду, что в литературе встречается несколько неэквивалентных определений КТ, ср. например , этот пост Phys.SE.

Это сводится к структуре фазового пространства. Вы знаете, что фазовое пространство должно иметь двухдифференциальную форму , которая представлена ​​вашими скобками Пуассона. Эта двойная форма «отслеживает» вашу ориентацию благодаря своей внутренней кососимметричной природе и, поскольку она является внешним продуктом ваших канонических переменных импульса и положения, она определяет «гиперобъемы» в вашем фазовом пространстве. Любое пространство, снабженное скобками Пуассона, является симплектическим пространством , и скобка Пуассона будет симплектической формой . Когда вы меняете переменные, вы хотите сохранить эту структуру, поэтому вы хотите применить симплектоморфизм (также известный как каноническое преобразование). Можно показать, что определитель Якоби симплектоморфизма всегда равен 1 поэтому он не деформирует объемы в фазовом пространстве . Из-за определения симплектоморфизма он также сохранит вашу ориентацию, поскольку сохраняет неизменной симплектическую структуру . Итак, преобразование с | Дж _ | знак равно 1 симплектоморфизм? В общем случае это не так, поскольку вы не знаете, сохраняет ли он симплектическую форму в вашем пространстве неизменной.

Эквивалентно ли каноническое преобразование преобразованию, сохраняющему объем и ориентацию?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v