Скобки Пуассона и магнитное поле [закрыто]

Я собираюсь везде использовать обозначение суммирования Эйнштейна .

Ты почти там. Вам просто нужно использовать

$${\bf B} = \nabla \times {\bf A}$$ или, что то же самое, $$\begin{eqnarray} B_k &=& \frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} + \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \epsilon_{j i k}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{i j k}\\ \end{eqnarray}$$ Там я использовал антисимметрию $\epsilon_{i j k}$при обмене любых двух индексов.

Теперь, используя первое уравнение здесь ,

$$\begin{eqnarray} B_k \epsilon_{k r s} &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{k i j} \epsilon_{k r s} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \left(\delta_{i r} \delta_{j s} - \delta_{i s} \delta_{j r}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_s} A_r - \frac{\partial}{\partial r_r} A_s \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \end{eqnarray}$$